Flächeninhaltstreue gleich teilverhältnistreue?

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2 Antworten

Da die verwendeten Begriffe hauptsächlich bei der Diskussion linearer/projektiver Bijektionen des zwei/drei/n-dimensionalen kartesischen Raumes R^n verwendet werden, gehe ich jetzt einfach mal davon aus, dass es genau um solche Bijektionen geht.


"Teilverhältnistreue" bedeutet lediglich, dass die Bijektion affin-linear ist, d.h. durch y = Ax + b gegeben ist, wobei A Drehstreckung/Scherung und b eine Verschiebung ist.

"Flächeninhaltstreue" (in 2D) bedeutet, dass die Abbildung wieder affin-linear ist, und an die Determinante von A zusätzliche Bedingung det(A)| = 1 gestellt wird.


Flächeninhaltstreue ist also stärkere Bedingung als Teilverhältnistreue. Sobald es also wirklich um lineare Abbildungen geht, kann man aus der Flächeninhaltstreue auf die Teilverhältnistreue schließen, aber sicherlich nicht andersherum (man stelle sich einfach eine Abbildung, die entlang einer Richtung alles um Faktor 2 streckt: Teilverhälnisse bleiben sicher erhalten, aber die Flächen werden offenbar größer).


Wenn es nicht um affin-lineare/projektive Abbildungen geht, hat die Frage imho keinen Sinn: was soll Teilverhältnistreue sein, wenn Geraden geknickt, zerrissen oder verknotet werden? (Alle diese Aktionen können Flächentreu sein: man kann sich das sogar bildlich mit einem Blatt papier vorstellen, den man in Streifen schneidet und verknotet. Dann passiert mit der Fläche nämlich nichts, aber Geraden sehen nachher nicht mehr sehr gerade aus)

Ist der Begriff Teilverhältnistreue überhaupt für eine ganze Fläche definiert?

Selbst dann folgt wahrscheinlich keine der beide Eigenschaften aus der anderen: Die TVT gilt wohl auch bei ähnlichen Flächen, bei der FT können die Flächen doch völlig verschiedene Gestalt haben.

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