Flächeninhalt eines uneingentlichen Integrals?

Hey Leute,

Ich habe in Mathe gerade das uneigentliche Integral..

Ich frage mich nur warum der Flächeninhalt eines uneigentlichen Integrals endlich ist? z.B der Limes (b -> ∞) des Integrals von 0 bis b der Funktion e^-x dx ist 1...

Ich meine.. e ^ - x geht gegen 0... aber wie kann dann A = 1 richtig sein.. Ich meine... egal wo ich ich A berechne (z.B ein Gogol oder 10^50 oder was immer) ich kann den erhaltenen Flächeninhalt (immer A > 0) plus die Summe der vorherigen rechnen...

Grüße Aaron.

Answer 1

Answer 2

Answer 3

[von jeanyfan]

Um es dir mal abstrakt zu verdeutlichen, warum sowas funktioniert:

Stell dir vor, ich will das Integral von 1 bis unendlich berechnen und ich hab eine Funktion, bei der gilt $\int_x^{x+1}f\left(x\right)dx=9\cdot10^{-x}$

also $\int_1^2f\left(x\right)dx=0,9$ $\int_2^3f\left(x\right)dx=0,09$ $\int_3^4f\left(x\right)dx=0,009$ $\int_4^5f\left(x\right)dx=0,0009$

Mit jedem Intervall eins weiter nach rechts gehst du dann eine Kommastelle weiter. Du addierst dann zwar zu deinem bestehenden Integral immer noch etwas dazu, trotzdem ist das Integral eben endlich, da $\lim_{b\to\infty}\int_1^bf\left(x\right)dx=1$

Ich hoffe mal du verstehst das Beispiel einigermaßen.

Comments

[TheSaltyOne]

Aha... Aber ich verstehe halt noch nicht warum das eben z.B 1 wird...
Wenn x endlos ist (x > 0) wieso ist dann A nicht auch endlos... Wenn ich z.B ein Quadrat nehme... b = 5 z.b und a -> unendlich... und dann "herauszoome" dann ist doch A immernoch unendlich? :C

[jeanyfan]

@TheSaltyOne

Bei einem Quadrat kommt pro Intervall aber ja auch immer die gleiche Fläche hinzu, da ja deine zugrundeliegende Funktion nicht mal konvergiert. Deshalb hab ich es dir mit dem Beispiel oben ja versucht zu erklären, wie es aussieht, wenn mit steigendem x eben immer weniger hinzukommt.

Answer 4

[von michiwien22]

> Ich meine.. e ^ - x geht gegen 0... aber wie kann dann A = 1 richtig sein.. Ich meine... egal wo ich ich A berechne (z.B ein Gogol oder 10^50 oder was immer) ich kann den erhaltenen Flächeninhalt (immer A > 0) plus die Summe der vorherigen rechnen...

Der Flächeninhalt wird auf diese Weise immer größer - das heißt aber nicht, dass er auch über alle Maße steigen muss.

Schau als Beispiel die Reihe

1/2+1/3+1/4+1/5+.....

Diese Summe ergibt "nur" 1, obwohl immer etwas positives dazukommt.

Comments

[jeanyfan]

Das kann nicht stimmen. Alleine 1/2+1/3+1/4=13/12 ist schon größer als 1.

[michiwien22]

@jeanyfan

sorry: meinte

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + ... = 1

;-)

Das ändert aber nichts am Argument.

Answer 5

[von Julian2T]

Das ganze nähert sich eben asymptotisch an. Vergleichbar mit der Annäherung von 1/x an die x-Achse. Wird zwar real "nie" Null, im Unendlichen aber schon.

Comments

[jeanyfan]

Allerdings ist diese Funktion insofern ein schlechtes Beispiel, da F(x)=ln(x) gilt. Somit hat man auf dem Intervall [1;∞) dann das Integral ln(b)-ln(1)=ln(b). Und das konvergiert eben nicht, obwohl f(x) konvergiert.

[Julian2T]

@jeanyfan

Ja stimmt, das kann man missverstehen. Ich meinte das nur bezugnehmend zu den y-Werten. :)