Flächeninhalt berechnen zwischen Graphen von f und der x-Achse, aber wie?

5 Antworten

Das Schaubild der Funktion f mit f(x)=-0,5x²+4,5 ist eine nach unten geöffnete gestauchte Parabel, deren Scheitelpunkt bei S(0|4,5) ist. Das Schaubild ist damit achsensymmetrisch zur y-Achse. Wir müssen zunächst denjenigen Bereich bestimmen, auf dem das Schaubild oberhalb der x-Achse verläuft. Dazu bestimmen wir die Nullstellen. Stelle also f(x) auf Null:

f(x)=0

0=-0,5x²+4,5    |+0,5x²

0,5x²=4,5          | * 2

x² = 9               | Wurzel

|x| = 3

Also sind die Nullstellen bei x1=-3 und x2=3.

Zur Bestimmung der Fläche zwischen der Kurve von f und der x-Achse berechnen wir das Integral von  -3 bis 3 über f(x) dx.

Zuvor bestimmen wir eine Stammfunktion F von f:

F(x) = -0,5 * 1/3 * x³ + 4,5 x = -1/2 * 1/3 * x³ + 9/2 x = -1/6 x³ + 9/2 x

int(f(x),-3,3) = F(3) - F(-3) =

-1/6 * (3)³ + 9/2 * 3 - ( - 1/6 * (-3)³ + 9/2 * (-3) ) =

-1/6 * 27 + 27/2 - ( - 1/6 * (-27) - 27/2 ) =

- 9/2 + 27/2 - ( 9/2 - 27/2 ) =

18/2 - ( -18/2 ) = 9 - (-9) = 9 + 9 = 18

Die von dem Graphen von f und der x-Achse eingeschlossene Fläche beträgt 18 FE (Flächeneinheiten).

Merke :Das Integralzeichen S (verzerrtes S) ist der mathematische Befehl zur Aufsummierung unendlich vieler kleiner Teilflächen dA zu der Gesamtfläche A mit der Einheit FE (Flächeneinheit,wenn keine Einheit angegeben ist)

Es gilt "große Fläche minus kleine Fläche". y´=-0,5 *x^2 +4,5 integriert ergibt y=- 0,5/3 * x^3+4,5 * x +C

C ist die Integrationskonstante,die bei jeder Integration auftritt,weil ja beim differenzieren die Konstante weg fällt !!

A=(-0,5/3 *x^3 +4,5 *x + C) - (-0,5/3 *x^3 +4,5 *x +C) (C fällt weg C-C=0!!)

A=(obere Grenze) - (untere Grenze)

Hinweis :Man darf nicht über Nullstellen hinweg integrieren,weil dabei die untere Fläche (Fläche unter der x-Achse) von der oberen Fläche (Fläche über der x-Achse )abgezogen wird !!

Deshalb muss man die Beträge beider Flächen addieren !!

Gesucht ist der Flächeninhalt - nicht zwingenderweise das Integral - der von der Funktion f(x) und der x-Achse eingeschlossenen Fläche.

Sei f(x) = -0.5x² + 4.5 die zu untersuchende Funktion, so lauten dessen Nullstellen: x_1 = -3 und x_2 = 3.

Aufgrund der vorhandenen Symmetrie von f(x) bezüglich der y-Achse (f(x) = f(-x)) gilt:

int(-0.5x² + 4.5) dx [-3;3] = 2 int(-0.5x² + 4.5) dx [0;3]

Daraus folgt:

2 int(-0.5x² + 4.5) dx [0;3] = 2 (-(1/6)x^3 + 4.5x) | [0;3] = 2 (9 - 0) = 18

Der gesuchte Flächeninhalt ist demnach 18 Einheiten gross.

Fehlt nur noch das "FE" (Flächeneinheit,wenn keine Einheiten vorliegen). 18 FE hat mein Graphikrechner (CASIO) auch ermittelt und der verrechnet sich nie !!

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@fjf100

Mein grafischer Taschenrechner verrechnet sich auch nie. Das haben GTRs so an sich.

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