Fläche zwischen 2 graphen / integral berechnen?

...komplette Frage anzeigen Aufgabe 10 - (Mathe, Graphen, Integral)

2 Antworten

Die Fläche zwischen den beiden Funktionen ist:

∫|(a sin(x) - (-1/a sin(x)))|dx = |(a + 1/a)∫sin(x)dx|, beide Integrale von 0 bis Pi. Mehr musst du nicht beachten, da zwischen 0 und Pi keine weiteren Nullstellen sind. Wenn du dieses Integral ausrechnest, bekommst du einen Ausdruck, der abhängig von a ist.

Kontrollwert: |2(a + 1/a)|

Diesen Ausdruck willst du jetzt minimal werden lassen, das ist ein einfaches Extremalwertproblem, das solltest du alleine auch hinbekommen. Den Betrag bekommst du weg, wenn du einfach a positiv annimmst, da du sonst das Vorzeichen umdrehen kannst.

Kontrollwert: Minimale Fläche bei a = ±1, minimale Fläche = 4.

Falls du bei der Berechnung Probleme bekommst, sag bescheid, denn du willst bestimmt nicht alles vorgekaut bekommen.

LG

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Kruumbler 03.02.2016, 08:10

Oh, wie simple.. Danke für die Hilfe :)

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Hallo,

wenn Du für a eine 1 einsetzt, dann bekommst Du 1*(sin(x)-(1/1)*sin(x).

Das ist Null. Eine kleinere Fläche wirst Du wohl nicht finden.

Herzliche Grüße,

Willy

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Roach5 02.02.2016, 19:16

Für a = 1 hast du (1 - (-1/1))Sin(x) = 2 Sin(x), deren Fläche ist 4, zufälligerweise ist das aber genau die minimale Fläche, wenn auch nicht Null ;)

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Willy1729 02.02.2016, 19:29
@Roach5

Stimmt, ich hatte ein Minus vergessen, und dann heißt der Faktor vor dem Sinus (a+1/a) .

Wenn das nach a abgeleitet wird: f(a)=1-1/a², ist leicht zu berechnen, daß die Ableitung für a=1 Null wird und die zweite Ableitung positiv. Es liegt demnach bei a=1 ein Minimum vor. Wenn aber der Faktor vor der 2 (Betrag der Fläche im geforderten Intervall) minimal wird, ist auch das Produkt minimal.

Vielen Dank für den Hinweis,

Willy

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