Fläche von zwei Funktionen berechnen?

 - (Mathe, Funktion)

5 Antworten

So eine schwere Aufgabe habe ich hier noch nie gehabt.

Ich bin hier fast verrückt geworden.

Fläche zwischen zwei Funktionen (Graphen)

A=Integral(f(x)-g(x))

Besonderheit hier :rechts von der y-Achse ist f(x)=m*x die obere Begrenzung

links neben der y-Achse ist f(x)=2*x³-3*x²+x die obere Begrenzung

Das führt dann zu einen falschen Ergebnis mit der Formel A=Int. (f(x)-g(x))

Hier wechselt also die obere Begrenzung

f(x)=3*x) und g(x)=2*x³-3*x²+x eingesetzt

A=Int.(3*x)-(2*x³-3*x³+x)=Int.(3*x-2*x³+3*x²-x)

A=Int.(-2*x³+3*x²+2*x)*dx integriert

A=-1/2*x⁴+x³+x²+C

Nun die Schnittstellen ermitteln f(x)=g(x)

3*x=2*x³-3*x²+x

0=2*x³-3*x²-2*x Nullstellen mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)

x1=-0,5 und x2=0 und x3=2

1) nun die Fläche auf der rechten Seite ausrechnen

xo=0 xo=2

A=obere Grenze minus untere Grenze

A=(-1/2*2⁴+2³+2²)-(-1/2*0⁴+0³+0²)=4-0=4 FE (Flächeneinheiten)

2) nun die Fläche auf der linken Seite

xu=-0,5 xo=0

A=(-1/2*0⁴+0³+0²) -(-1/2*(-0,5)⁴+(-0,5)³+(-0,5)²=-0,09375 FE (Flächeneinheiten)

Gesamtfläche Ages=4+0,09375=4,09375 FE

Hinweis: Das negative Vorzeichen bei -0,09375 ergibt sich,weil die obere Begrenzung gewechselt hat.

1) zeichen beide Graphen,damit du siehst,wie der Verlauf ist

2) überprüfe das Ergebnis,indem du die einzelnen Teilflächen auf normalen Weg berechnest und dann zur Gesamtfläche addierst.

Zum einen ist Dir eine Schnittstelle verloren gegangen; solltest Du irgendwann durch x dividiert haben? Besser: x ausklammern; dann erhältst Du als weitere Schnittstelle x=0.
Es gibt also zwei von den beiden Graphen eingeschlossene Flächen.

Da es um die Fläche zwischen den Graphen geht, integrierst Du am einfachsten über die Differenzfunktion d(x) = f(x) - g(x), denn diese Funktion berechnet ja gerade, "was zwischen den Graphen" liegt.

Mein (Zwischen)Ergebnis: die beiden Teilflächen haben einen Inhalt von 0,09375 bzw. 4 FE.

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Die Lösung sei 131/32 also 4,09375... Also ich hab als Differenzsfkt folgendes erhalten: 2x^3 -3x^2-2x davon bräuchte ich ja dann die Stammfkt : da habe ich : 1/2x^4 -x^3-x dann hab ich einmal das Integral von -1/2 bis 0 berechnet und einmal das Integral von 0 bis 2 aber leider kommt das falsche Ergebnis. Siehst du irgendwo ein Fehler

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@Mert68

ok hab die lösung danke

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@Mert68

Hast Du selber die 131/32 herausbekommen? Das ist richtig!

Einen kleinen Fehler sehe ich in Deiner Stammfunktion; sie müsste lauten:

1/2x^4 -x^3-x²

Deine Vorgehensweise ist auf jeden Fall korrekt.

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Um die Fläche zwischen den Funktionen zu erreichen, subtrahierst du g(x) von f(x).
Das Ergebnis ist die Differenzfunktion. Wenn diese mehr als 2 Nullstellen hat, integrierst du von Nullstelle zu Nullstelle (der Differenz) und addierst die Absolutbeträge.

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ok hab die lösung danke

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