Fehler in der denkweise der matheaufgabe?

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6 Antworten

Ist das eine Wettbewerbs-Aufgabe?

samudee 09.08.2017, 20:43

ja das ist es ralphdieter. allerdings habe ich mir meine gedanken dazu gemacht und nach hilfe gefragt. ich fragte in der schule nach. da es die hausrunde der matheolympiade ist, dürfen wir hilfe benutzen. die aufgebn der 2. runde in der schule sind auch leichter. ich verlange hier nicht eine eins  A lösung ohne selber darüber nachzudenken

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ralphdieter 10.08.2017, 09:26
@samudee

Ok, dann mal los:

Da die Lage der Punkte unbekannt ist, wirst Du schlecht einen bestimmten Kreis mit 12 Punkten angeben können. Sowas ist ein klassischer Fall für einen Widerspruchsbeweis:

  • Annahme: Jeder Kreis in der gesamten Ebene überdeckt höchstens 11 Punkte.
  • Findest Du z.B. 500 Kreise, die das Quadrat vollständig überdecken, dann enthält das Quadrat höchstens 5500 Punkte. Das ist falsch. ⇒ Die Annahme ist falsch.

Dein Job wäre hier:

  1. Finde eine Überdeckung mit nicht zu vielen Kreisen und zeige, dass Du dabei keinen Punkt des Quadrates ausgelassen hast.
  2. Erkläre stichhaltig, dass eine Überdeckung aus n Kreisen mit je höchstens 11 Punkten insgesamt höchstens 11·n Punkte enthalten kann.
  3. Formuliere den Widerspruchsbeweis sauber aus (das oben stehende ist nur eine Skizze).

Kleiner Tipp zu Job 1: Als ich vorhin in der Dusche die quadratischen Fliesen gesehen habe, kam mir eine sehr einfache Lösung in den Sinn. Denk' Dir um jede Fliese einen Kreis...

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Also jedem Punkt stehen 406,828 m^2 zur Verfügung. Das heißt ich kann um einen Punkt (A) einen Quadrat zeichnen mit 20,17 m Seitenlänge.

Das bedeutet, dass der nächste Punkt 20,17 m von A entfernt ist.

-> Ein Kreis von 20,171 m (es sollte etwas mehr als 20,17 m sein, da sonst die Punkte genau auf dem Kreisrand liegen) um A, hat genau 5 Punkte.

Die nächsten 4 Punkte liegen dann in einem Kreis mit dem Radius

r = sqrt(2)*20,17 m = 28,52 m (also eigentlich 28,521 m)

Das bedeutet ein Kreis mit dem Radius von 28,521 m hat schon mal 9 Punkte.

Um mindestens 12 Punkte im Kreis zu haben, brauchst also noch 4 Zusätzliche Punkte:

Dann hat der Kreis einen Radius von 2*20,17 = 40,34 m.

Das kleiner als 50 m -> passt.

Fehlt hier vielleicht noch die Angabe, wie groß der Abstand der Punkte voneinander ist? Und darf der Kreis über das Quadrat hinausragen?

Denn wenn der Kreis nicht über das Quadrat hinausragen darf, dann kann er also das Quadrat in genau einem Punkt berühren - oder wenn er in der Ecke steht, dann halt in 2 Punkten. Wenn ich die 10000 Punkte alle gleichmäßig auf dem Rand des Quadrats verteile, dann sind maximal 2 Punkte im Kreis, egal wie groß der ist.

Oder habe ich jetzt einen Denkfehler?

samudee 09.08.2017, 20:41

is nivht angegeben ob der kreis auserhalb liegen kann (also ein stück) und die anordung der punkte ist auvh nicht gegeben.

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GrobGeschaetzt 09.08.2017, 20:58
@samudee

er muss wohl außen liegen können, denn sonst geht es noch einfacher: Ich mach das Quadrat mal ordentlich sauber und kehre alle Punkte in eine Ecke, denn da kommt der Kreis nicht hin, wenn er nicht über den Rand hinaus kann. Dann liegt garantiert kein Punkt im Kreis.

zur gleichmäßigen Verteilung: wenn sie nicht gleichmäßig verteilt sind, gibt es zwar Bereiche, in denen weniger Punkte als der Durchschnitt sind, aber dafür muss es auch Bereiche mit mehr Punkten als dem Durchschnitt geben. Dann schiebt man den Kreis eben da hin.

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Deine Vorgehensweise ist insofern richtig, wenn die Aufgabe lautet, dass die Punkte gleichmäßig verteilt sind! Zu beachten ist noch, dass deine Punkteinheiten am Kreisrand wesentlich niedriger sind!

samudee 09.08.2017, 20:45

sicher ? die verteilung war ja nicht gegeben. wie kann ich sicher sein, wie die punkte liegen. ja ich hatte nur gleichmäßiges auftreten bedacht.

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Quatsch habe mich vertan in der Betrachtung.





Ich hab die Aufgabe mit dem Schubfachprinzip gelöst.

Kannst du mir vielleicht einen Tipp zu den Sternzacken geben? :D

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