Fehler bei vollständiger Induktion?

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2 Antworten

Wozu brauchst du Induktion? Beweis es doch direkt! Zunächst formt man die Summanden um:

1/(k·(k+1)) = 1/k – 1/(k+1) für alle k∈ℕ⁺

Also gilt

∑ 1/(k·(k+1)) = ∑ 1/k – 1/(k+1)  Summe von k=1 bis n
= ∑ 1/k Summe von k=1 bis n
– ∑ 1/(k+1) Summe von k=1 bis n
= ∑ 1/k Summe von k=1 bis n
– ∑ 1/k Summe von k=2 bis n+1
= 1 + ∑ 1/k Summe von k=2 bis n
– ∑ 1/k Summe von k=2 bis n
– 1/(n+1)
= 1 – 1/(n+1)

für alle n≥1. QED.

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Kommentar von kreisfoermig
26.10.2016, 00:30

Wenn du dringen das Bedürfnis hast, den stumpfen Hammer der Induktion zu verwenden, dann:

lA. Für n=1 gilt

∑ 1/(k·(k+1)) Summe von k=1 bis n
= 1/(1·2)
= 1/1 – 1/2 (siehe oben)
= 1/1 – 1/(n+1).

Darum gilt die Gleichung für n=1.

lS. Sei n∈ℕ⁺. Angenommen, die Gleichung gelte für n. Dann gilt

∑ 1/(k·(k+1)) Summe von k=1 bis n+1
= ∑ 1/(k·(k+1)) Summe von k=1 bis n
+ 1/((n+1)(n+2))
= 1–1/(n+1) per Induktion
+ 1/(n+1)–1/(n+2) siehe oben
= 1–1/(n+2).

Also gilt die Gleichung für n+1.

Per Induktion gilt die Gleichung für alle n∈ℕ⁺.                         QED.

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Hallo,

zunächst beweist Du, daß die Gleichung für k=1 stimmt:

1/[1*(1+1)]=1-1/(1+1)

1/2=1-1/2=1/2 Der Induktionsanfang ist bewiesen.

Nun mußt Du beweisen, daß dies auch für alle folgenden Glieder stimmt, indem Du die Formel allgemein für k+1 nachweist.

Σ1/[k*(k+1)] ist laut Behauptung gleich 1-1/(k+1)

Addierst Du das nächste Folgenglied dazu, wäre dies, da laut Behauptung die Summe von

1/[k*(k+1)]=1-1(k+1) ist, 1-1/(k+1)+1/[(k+1)*(k+2)].

Wenn die Behauptung stimmt, muß dasselbe herauskommen, wenn Du k+1 gleich anstelle von k in die Summenformel eingibst: 1-1/(k+1+1)

Es ist also zu beweisen, daß

1-1/(k+1)+1/[(k+1)*(k+2)]=1-1/(k+2)

Da auf beiden Seiten die 1 als Summand auftaucht, kannst Du die schon mal streichen:

-1/(k+1)+1/[(k+1)*(k+2)]=-1/(k+2)

1/[(k+1)*(k+2)]=1/(k+1)-1/(k+2)

Die rechte Seite bringst Du auf den Hauptnenner (k+1)*(k+2)

1/[(k+1)*(k+2)]=[(k+2)-(k+1)]/[(k+1)*(k+2)]=1/[(k+1)*(k+2)]

Fertig.

Herzliche Grüße,

Willy

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