Fehler bei Substitution?

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4 Antworten

Hallo,

die Formel gilt bei der Integration von verketteten Funktionen.

Bei Deinem Beispiel ist f(x)=cos (x) und g(x)=4x.

So ist f(g(x))=cos(4x)

Du möchtest dies in den Grenzen von 0 bis 2 integrieren.

Dazu multiplizierst Du f(g(x)) mit der inneren Ableitung, also mit der Ableitung von 4x, welche 4 lautet.

So bekommst Du die linke Seite der Gleichung:

Int [cos (4x)*4]

Rechts steht das Integral der äußeren Funktion cos (x), wobei das x durch eine andere Variable - hier: t - ersetzt wird, damit es keine Verwechslungen gibt:

Int [cos (4x)*4]=Int [cos (t)]

Die 4 als Faktor kannst Du vor das Integral setzen:

4*Int [cos (4x)]=Int [cos (t)]

Nun teilst Du durch 4:

Int [cos (4x)]=0,25*Int [cos (t)]

Nun kommt die Anpassung der Grenzen.

Anstatt 0 und 2 setzt Du auf der rechten Seite g(0) und g(2) ein.

g(x)=4x, g(0)=0, g(2)=8

Das Integral von cos (4x) von 0 bis 2 entspricht also dem Integral von
0,25 cos (t) in den Grenzen von 0 bis 8,
also 0,25*sin (8)-0,25*sin (0)=0,2473395617

Die alten Grenzen bekommst Du wieder, wenn Du die neuen durch 4 teilst.

Herzliche Grüße,

Willy

Willy1729 08.07.2017, 18:42

Durch die Anpassung der Grenzen sparst Du Dir die Rücksubstitution, das ist der Sinn der Sache.

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Nachdem du deine Stammfunktion: sin(t)/4 gefunden hast, kannst du (wenn du möchtest, ist meistens nicht sinnvoll) rücksubstituieren. Bedeutet t = 4x.

In den Grenzen, die ja nun 0 und 8 sind, passiert das gleiche. 0 = 4x => x = 0.

8 = 4x => x = 2.

Also hast du am Ende wieder deine Grenzen 0 und 2 und als Stammfunktion sin(4x)/4.

LG

Wieso so kompliziert? Ableitung von sin ist cos, also wäre eine Stammfunktion (fast) sin (4x). Die jetzt beim Ableiten dazukommende innere Ableitung neutralisierst du durch den Faktor 1/4.

F(x) = (1/4) sin (4x)

Recall09 08.07.2017, 18:06

das war jetzt nur ein einfacjes bsp. wie man es auch mit sub hätte machen können, es geht mir hier um das prinzip

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Wechselfreund 08.07.2017, 18:10
@Recall09

Wird die Substitution in der gefundenen Stammfunktion rückgängig gemacht können wieder die alten Grenzen benutzt werden.

2

t = 4x  

also Grenzen ändern von 0 bis 2

auf 0 bis 8

dann

sin t  in den Grenzen 0 bis 8

ergibt:  0,24733     (mit rad auf Taschenrechner);

da wird nichts rücksubstituiert.

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