Falls gruppe kommutativ ist, dann beidseitig invers?

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4 Antworten

Ja, im Allgemeinen musst du nicht einmal Kommutativität folgern (was den Beweis doch trivial macht), auch in nicht-abelschen Gruppen ist das Inverse Element eines Elementes g beidseitig.

Sei g ein Element einer Gruppe, gL das Linksinverse von g und gR das Rechtsinverse von g.

Dann gilt: gR = e*gR = gL*g*gR = gL*e = gL.

LG

Ja, sicher. Wenn e das neutrale element bezeichnet und wenn ax=e ist, ist a linksinvers zu x. Da e=ax=xa ist, heißt das, dass a rechtsinvers zu x ist.


PS: die Frage ist übrigens nicht dumm

klingt plausibel.

Was ist mit Gruppe konkret gemeint? Kommt immer auf das Sachgebiet drauf an. Kommutativ bedeutet ja nur Vertauschbarkeit! Wenn du also das linke nach rechts nimmst, dann ist das nicht gleichzeitig das rechtsneutrale Element, was du nach links tauschen kannst! Das sind 2 veraschiedene Elemente! Oder welche Erklärungen hat dazu eurer Lehrer gemacht?

In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt.

Sagen wir mal ich habe eine Halbgruppe A und + ist die Verknüpfung.
Ein element e aus A ist linksneutral, wenn e + x = x für alle x aus A gilt
rechtsneutral dann x + e = x
ist jetzt aber meine Halbgruppe kommutativ, dann ist es ja egal ob rechts oder linksneutral, heißt wenn ich ein (das?) linksneutrales element finde, dann ist das ja auch automatisch das rechtsneutrale element, so hab ich das verstanden

und meine Frage war, ob das beim inversen genau so ist

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@Esxalon

Als logischen Ansatz habe ich es verstanden aber als mathem. Gleichung müsste e ja immer 0 sein?! Was für einen Sinn soll das ergeben? Hatte das selbst auf der Hochschule nicht!

Und invers bedeutet ja Gegensätzlichkeit, das kann man also NICHT vertauschen, siehe Produkt mit inverser Matrix A * A^(-1) ungleich A^(-1) * A

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@UlrichNagel

liegt ja daran, dass die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ ist, aber wenn ich eine Gruppe habe bei der Kommutativität zutrifft, dann gilt ja a*b = b*a, daraus müsste ja folgen dass ich recht mit meiner Annahme habe, war mir aber unsicher und wollte das hier bestätigt bekommen, da scheinen sich die anderen beiden User zu einigen :-)
aber das ist ja z.B. bei der addition und multiplikation auch so:
a+(-a) = (-a)+a und a*(a^-1) = (a^-1)*a

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@Esxalon

Richtig, aber eben nicht bei Inversen, denn deine Beispiele sind nichts Inverses!

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@UlrichNagel

"+" ist hier nur ein Zeichen, für die Gruppenverknüpfung, unter Umständen etwas suggestiv gewählt, weil die Gruppe kommutativ sein soll. Meistens schreibt man a⋅b, a∗b oder a∘b. Aber falls die Gruppe etwa aus der Menge der ganzen Zahlen besteht und die Verknüpfung die bekannte Addition ist, dann ist in der Tat die Zahl 0 das neutrale Element. Weil für jede ganze Zahl a stets a+0 = 0+a=a gilt. Zurück zum allgemeinen Fall:

a heißt linksinvers zu x, wenn a⋅x=e ist. In diesem Fall heißt x rechtsinvers zu a. Da wegen der Kommutativität der Gruppe hier aber aus a⋅x=e direkt x⋅a=e folgt, heißt das, dass a rechtsinvers zu x ist.

Dein Beispiel ist hierzu allerdings wenig geeignet, weil 1. Matrizen eben in der Regel nicht kommutieren und hier Kommutativität vorausgesetzt war und 2. weil A*A^(-1) eben schon A^(-1)A ist, in beiden Fällen kommt nämlich die Einheitsmatrix heraus.

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@UlrichNagel

Freilich, wenn man eine additiv geschriebene Gruppe wie z.b. ℤ hat, ist -a invers zu a und umgekehrt, weil a+(-a) = -a+a = 0 ist.

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@JonIrenicus

OK, wenn die Lehrer euch das so falsch mit dem Begriff invers erklärt haben, will ich nichts mehr dazu sagen. Logisch kann man in der Reihenfolge nur von gegenüberliegenden Elementen sprechen, aber eben nicht von inversen, denn invers bedeutet nun mal eindeutug ein entgegengesetztes Glied oder entgegengesetzter Faktor (reziproker). Mathelehrer halten sich oft nicht an die eigentliche Bedeutung von Begriffen.

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@UlrichNagel

ziemlicher Käse, da die oben genannte definition eindeutig ist und selbst an Hochschulen so gelehrt wird. Du solltest es vielleicht selbst mal nachlesen.

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@UlrichNagel

​​OK, wenn die Lehrer euch das so falsch mit dem Begriff invers erklärt

U.Nagel, wie man ihn kennt: was er nicht versteht, ist doof. - Hatten wir doch kürzlich erst.

Und:

1. Gruppentheorie lernt man im 1.Semester Mathematik.

2. Wenn du von einem Thema nichts verstehst, dann antworte doch einfach nicht. - ich käme nie auf die Idee, bei einem mir nicht geläufigen Thema was abzusondern a la "ich kenne deine Begriffe nicht, also ist das alles Mist, und deine Lehrer haben es falsch erklärt". - hatten wir doch auch kürzlich erst.

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@schuhmode

Wir erst im dritten Semester bei Diskrete Strukturen 2 im Informatik Studium :-)

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Gelikafkal hat vollkommen recht, hier wird überall Standardnotation benutzt, und wenn du die Frage nicht verstehst solltest du sie nicht beantworten. Die Matrixrechnung ist kein Gegenbeispiel, da die Menge ALLER Matrizen i.A. keine Gruppe unter Multiplikation bilden, sondern erst die Allgemeine Lineare Gruppe, die bereits voraussetzt, dass ein Links- und ein Rechts-inverses existieren. Wenn beide existieren, dann sind diese auch gleich, siehe meine Antwort weiter oben.

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