Fakultät n! für n Objekte Beweis?

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2 Antworten

Nach Deinen Schreiben denke ich das Du einen kleinen Denkfehler hast. Das was Du dazu addieren willst ist überflüssig, da Du lediglich zeigen willst was die Möglichkeiten n aus n zu ziehen sind.

Wie viele Möglichkeiten existieren genau n Objekte anzuordnen?

Antwort: n!

Wie Du richtig hergeleitet hast, ist n! durch n·(n-1)! definiert.

Aber, (n-1)! = (n-1)·(n-2)! und (n-2)! = (n-2)·(n-3)! u.s.w.

Das ganze geht bis 1, also bis (n-k)·1! kommt. Wobei 1! = 1 ist.

=> n! = (n-1)·(n-2)·...·1

Dann existiert noch die eigentlich übliche Begründung.

Du hast n Objekte, die Du in n Plätze anordnen willst.

Beispielsweise sei n = 4

{( ), ( ), ( ), ( )} für a, b, c, d

Wir wollen alle n-elementigen Teilmengen aus der n-elementigen Menge (B) finden, unter Beachtung der Reihenfolge.

B = {a, b, c, d}

1.) Für den ersten Platz sind 4 Möglichkeiten da.

A\\{a} ∨ A\\{b} ∨ A\\{c} ∨ A\\{d}

Entspricht dem Fall alle 1-elementigen Teilmengen aus der Menge B zu finden.

2.) Für den zweiten beliebigen Platz bleiben 4·3 Möglichkeiten.

A\\{a, b} ∨ A\\{a, c} ∨ A\\{a, d} ∨ A\\{b, c} ∨ A\\{b, d}∨ A\\{b, a} ∨ A\\{c, d} ∨ A\\{c, a} ∨ A\\{c, b} ∨ A\\{d, a} ∨ A\\{d, b} ∨ A\\{d, c}

Würde das erste mit dran addiert werden, schließe dies sozusagen Fälle wie {(a), (a), ( ),( )} ein. Dies wäre zwar dann wieder {(a), ( ), ( ), ( )}, bloß letztendlich rechnerisch überflüssig/falsch.

Entspricht dem Fall alle 2-elementigen Teilmengen aus der Menge B zu finden.

Stelle Dir das einfach sowie oben bei der Fakultät im allgemeinen vor.

Du multiplizierst 4 und 3, da Du am Anfang 4 Möglichkeiten hast, welches Dein erstes Element ist. Ins Gesamt sind nur 2 Plätze da, bei den letzten können dann also nur die anderen 3 sein.

3.) Für den dritten Platz gibt es 4·3·2 Möglichkeiten.

Entspricht dem Fall alle 3-elementigen Teilmengen aus der Menge B zu finden.

Jetzt diesen Gedankengang weiter verfolgen.

Du multiplizierst 4, 3 und 2, da Du am Anfang 4 Möglichkeiten hast, was Dein 1 Element ist. Dann 3 welches Dein zweites ist und zunächst 2 was Dein vorletztes ist.

4.) Für den letzten beliebigen Platz existieren 4·3·2·1 Möglichkeiten.

Entspricht dem Fall alle 4-elementigen Teilmengen aus der Menge B zu finden.

Du multiplizierst 4, 3, 2 und 1, die ersten 3 Faktoren lass ich jetzt mal weg.

Dasselbe wie gerade eben, nur das wir noch ein einziges Element übrig haben werden. Das spielt bloß keinerlei Rolle, wir brauchen ja die Möglichkeiten zu ordnen.

Das wären also insgesamt 24 Möglichkeiten zu sortieren.

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n´m:= Möglichkeiten n Objekte auf n Plätze zu verteilen

Wozu dann das m? Wenn das der Binomialkoeffizient sein soll sind es die Möglichkeiten m Objekte auf n Plätze zu verteilen (Reihenfolge egal)

Intuitive Äußerung: n´m = n´m+(n´m-1)+(n´m-2)+...1

Die Intuition verstehe ich nicht ganz, denn auf beiden Seiten hast du n'm, dass heißt damit das erfüllt wäre müssten irgendwelche deiner Summanden negativ sein. Da es sich um Möglichkeiten handeln soll geht das allerdings schlecht.

Ich glaube dein fundamentaler Denkfehler ist, dass n! nicht definiert ist als

n´m = (n´m-1)*(n´m-2)·...·1

Sonder als 0!=1 und n!=n*(n-1)!. Also z.B: 5!=5*4*3*2*1.

5! Sagt dir daher auf wie viel verschiedene Arten du 5 Objekte anordnen kannst. Stell dir vor du hast 5 Bücher im Regal und nimmst alle raus. Dann greifst du dir immer eins und stellst so nacheinander alle wieder zurück ins Regal. Beim ersten Buch hast du 5 Möglichkeiten, welches du dir greifst. Jetzt sind nur noch 4 Bücher nicht im Regal. Das heißt für das zweite Buch hast du nur 4 Möglichkeiten, für das dritte nur noch 3... Daher 5*4*3*2*1=5!.

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Kommentar von Naydoult
28.10.2016, 16:10

Achso, dann ist meine Herleitung schon korrekt. Ich verstehe nicht ganz, wie Du im letzten Abschnitt äußerst weshalb die Möglichkeiten mit einander multipliziert werden, dass wollte ich verstehen. Intuitiv würde ich nämlich sagen, dass sie sich addieren. Denn am Anfang 5 Bücher, gibt 5 Möglichkeiten, ich platziere 1 und dann für das andere Buch 4 Möglichkeiten. Weshalb Multiplikation und nicht Addition? Noch nie dazu eine Begründung gelesen.

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