"Faktorisieren"

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5 Antworten

Das Faktorisieren «


Das Lösen von nichtlinearen Gleichungen Das Faktorisieren Aufgaben Lösungen

« Das Lösen von nichtlinearen Gleichungen Aufgabe:

Löse die folgenden Gleichungen:

(x-3)·(x+2,5)·x = 0 (x-12)(x+12) = 0 x² - 144 = 0 x² - 2x + 1 = 0 x² + 9,5x - 5 = 0

Lösung:

Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist (z.B. 5·0 = 0). Deshalb muss jeweils immer nur ein Faktor auf Null gesetzt sein, dann ist die ganze linke Seite der Gleichung Null und es entsteht eine wahre Aussage.

x = 3: (3 - 3) · (3 + 2,5) · 3 = 0 · (3 + 2,5) · 3 = 0 x = -2,5: (-2,5 - 3) · (-2,5 + 2,5) · (-2,5) = (-2,5 - 3) · 0 · (-2,5) = 0 x = 0: (0 - 3) · (0 + 2,5) · 0 = 0
L = { -2,5; 0; +3 }

Die Gleichung wird für x = -12 und x = +12 erfüllt: L = { -12; +12 }

Diese Gleichung ist eine Summe und enthält ein x². Mittels der dritten binomischen Formel: (x - 12)(x + 12) = x² - 144 erkennt man aber, dass die Lösungen mit der vorherigen Teilaufgabe übereinstimmen. L = { -12; +12 } Der Trick ist hier also die Summe x²-144 mittels der rückwärts angewendeten 3. binomischen Formel in ein Produkt umzuwandeln.

Der Term ist wieder eine Summe. Besser wäre auch hier eine Produktform. Diesmal erkennt man die 1. binomische Formel: x² - 2x + 1 = (x - 1)² = (x - 1)(x - 1) = 0 Diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn x = +1 ist: L = { +1 }

Dieser Term ist keine binomische Formel. Er lässt sich also nicht mit einer binomischen Formel in ein Produkt umwandeln. Trotzdem besitzt er die Lösungsmenge: L = ( -10; +0,5 }

Man hat also Glück, wenn man eine Summe mittels einer binomischen Formel in ein Produkt umwandeln kann. « Das Faktorisieren Für das Lösen nichtlinearer Gleichungen der Form a = 0 gibt es also manchmal die Möglichkeit den Term a in eine Produktform umzuwandeln. Diese Umwandlung nennt man Faktorisieren. Du hast zwei Möglichkeiten einen Term zu faktorisieren:

Ausklammern: Haben alle Summanden eines Terms gemeinsame Faktoren, so lassen sich diese ausklammern: 4a + 32b + 12c = 4 · (a + 8b + 3c).

Das Ergebnis ist ein Produkt, da man zuerst die Klammer ausrechnet und sie dann mit dem Vorfaktor multipliziert.

Binomische Formel rückwärts: 16u2 - 49v4 = (4u + 7v²)·(4u - 7v²)

In komplizierteren Summen muss man vielleicht zuerst ausklammern und anschließend noch eine binomische Formel anwenden:

32 a2 - 8 b2 = 8 · (4a2 - b2) = 8 · (2a + b) · (2a - b)

108x5z - 360 x3y3z2 + 300xy6z3= 12xz·(9x4 - 30 x2y3z + 25y6z2) = 12xz·(3x2 - 5y3z)2

Es gibt auch die Möglichkeit, zuerst nur aus einzelnen Summanden etwas auszuklammern:

ax2 - ay2 + bx2 - by2 = a(x2 - y2) + b(x2 - y2) = (a + b)(x2 - y2) = (a + b)(x + y)(x - y)

36a4x2 - 81b2x2 + 169a2y2 - 144b2y2 = x2 · (36a4 - 81b2) + y2 · (169a2 - 144b2) = x2 · (6a2 + 9b)(6a2 - 9b) + y2 · (13a + 12b)(13a - 12b)

Dies ist ein Beispiel für eine Summe, die sich nicht in ein Produkt umwandeln lässt.

« Aufgaben Bestimme die Lösungsmenge über der Grundmenge der rationalen Zahlen:

(x-0,5)·(x+2,5)·(x-3) = 0 (x-11)·(x+1)·x = 0 (x2 - 9) = 0 (x4 - 16) = 0 (x2 + 1) = 0 (x - 1)2 = 0 4x2 - 12x + 9 = 0 x3 - 9x = 0 81x5 - 72x3 + 16x = 0 x - 18x3 + 81x5 = 0

Faktorisieren durch Ausklammern und binomische Formeln rückwärts

196x2y2 - 225z4y2 289a2b3 + 136ab3c + 16b3c2 162z2 - 2y4 16x4 + 16x3 + 4x2 512a2c2 - 1216abc2 + 722b2c2 (x4-1) 3a4 - 3

Teilweises Ausklammern

a2x + 2abx + b2x + a2y + 2aby + b2y ax2 - ay2 - bx2 + by2 2a2u - 2b2u + 3a2v - 3b2v

« Lösungen Bestimme die Lösungsmenge über der Grundmenge der rationalen Zahlen:

L = { -2,5; +0,5; +3 } L = { -1; 0; +11 } L = { -3; +3 } L = { -2; +2 } L = {} L = { +1 } L = { +1,5 } x · (x2 - 9) = x (x-3)(x+3) L = ( -3; 0; +3 } x · (81x4 - 72x2 + 16) = 0 x · (9x2 - 4)2 = 0 x · [(3x + 2)(3x - 2)]2 = 0 L = { 0, -2/3; +2/3 } x · (1 - 18x2 + 81x4) = x · (1 - 9x2)2 = x · [(1 - 3x)(1 + 3x)]2 = L = { -1/3; 0; +1/3 }

Faktorisieren durch Ausklammern und binomische Formeln rückwärts

y2 · (14x - 25z2)(14x - 25z2) b3 · (17a + 4c)2 2 · (81z2 - y4) = 2 ·(9z - y2)(9z + y2) 4x2 · (2x+1)2 2c2 · (16a - 19b)2 (x+1)(x-1)(x2+1) 3(a+1)(a-1)(a2+1)

Teilweises Ausklammern

(x+y)(a+b)2 (a-b)(x+y)(x-y) (a+b)(a-b)(2u+3v)

ich habs selber noch nicht ganz durch xD

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@naja123

wer tschekt das jetzt schon wenn du das einfach von einer seite kopierst und dann einfügst??!!?

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guck dir an was in jedem summanden vorkommt und klammer das aus( also hier die 1,5). an dem teil der noch überbleibt sollte dir was auffallen => binomische formel.

Ich weiß die 2. aber ich brauche ein rechenweg

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@LukLong

wenn du das weißt dann schreibs doch einfach auf? 1,5 ausklammern und die 2.binomische formel anwenden.. das muss ich doch nich extra für dich aufschreiben?

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Einfach erklärt (Deutschlehrer bitte weggucken):

Du must was erzeugen, was man dann multiplizieren kann und wobei dann das wieder entstehen würde.

Beispiel: 1,5x²-3xy+1,5y² kann zu etwas entsprechend wie (a+b)*(c+d) werden.

Oft stecken aber nut einfache Binomische Formeln hinter der Sache:

(a+b)(a+b) oder (a-b)(a-b)

Stellen wir uns mal ganz dumm: Was fällt denn bei Deinem Beispiel zuerst ins Auge?

Hoppla: Da steckt ja überall 1,5 drin:

1,5x²-3xy+1,5y² = 1,5 * [ x² - 2xy + y² ]

Da haben wir nun schon 2 Faktoren.

Aber was istdas rechts denn? Hihi erwischt: Ein Binom

1,5 * [ x² - 2xy + y² ] = 1,5 * [ (x-y) * (x-y) ]

also = 1,5 * (x-y) * (x-y) Das sind drei Faktoren

= 1,5 * (x-y)²

Und wenn Du das ausmultiplizierst, sollte wieder das Ding vom Anfang rauskommen.

Mathe muss man viel üüüüben!

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Das war vergebliche Mühe, er interessiert sich gar nicht für die Antwort, wie leider der überwiegende Teil der Fragensteller hier. seufz

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vll hilft diese seite --> http://www.roro-seiten.de/mathe/stoff/algebra/faktorisieren/faktorisieren.html

(scroll etwas runter)

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