Extremwertaufgaben und Steckbriefaufgaben-ganz große Probleme damit kann mir jmd. helfen?

1 Antwort

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Wenn du mir (per Nachricht oder so) eine Aufgabe schickst, kann ich es dir anhand dieser erklären und vorrechnen, wenn du möchtest.

danke, werde ich machen :-)

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@LittleGum

Ein Pfadfinder baut aus einer Zellplane mit den Maßen 2m x 2m einen einfachen zeltartigen Wetterschutz auf, der auf der Vorder- un der Rückseite offen ist. Wie hoch muss er das Zelt bauen, wenn dessen Volumen möglichst groß sein soll ?

oder

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Tiefpunkz P(1/-2) deren Wendepunkt im Koordinatenurspring liegt.

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@LittleGum

Also hat er eine quadratische Plane und baut ein Zelt, das einfach vorne und hinten offen ist und wenn man vor dem Eingang steht, sieht man ein Dreieck. Also ungefähr so: http://www.schulbilder.org/malvorlage-zelt-i9654.html

Dann haben wir ein Prisma mit Dreieck als Grundfläche und das Volumen beträgt:

V = A(Eingang) * l

Also die Grundfläche, den offenen Eingang, mal der Länge des Zeltes.Das Dreieck ist gleichschenklig, weil er ja den Knick in der Mitte machen wird und nicht irgendwo noch Folie rumliegt.

Also gilt für die Fläche da vorne:

A(Eingang) = 1/2 * b * h

b ist die Breite und h die Höhe des Zeltes. (frustfrei-lernen.de/mathematik/gleichschenkliges-dreieck.html)

Also gilt für das Volumen:

V = 1/2 b h l

Das soll nun maximal werden, aber wir haben da noch mehrere Variablen drin, wäre gut, wenn wir die auf h reduzieren. Wir wissen aber ja auch noch mehr über das Zelt. Da die Zeltplane 2m x 2m lang ist, ist ja auch die Länge des Zeltes logischerweise l = 2m.

Und wenn du dir das Bild von dem Dreick in dem Link anguckst, wissen wir auch noch, dass die Plane 2 m hat, also müssen die Seiten a und b jeweils 1 m lang sein. Wir nennen die in unserem Fall mal s.

Mit Pythagoras gilt also:

h²+(b/2)² = s² = 1m²

(b/2)² = 1m²-h²

b/2 = Wurzel (1m²-h²)

b = 2 * Wurzel(1m²-h²)

Dann setzen wir also alles ein:

V(h) = 1/2 * b * h * l

= 1/2 * 2 * Wurzel(1m²-h²) * 2m

Also:

V(h) = Wurzel(1m²-h²) * 2m = 2m * (1m²-h²)^(1/2)

Das leiten wir nun ab und setzen die erste Ableitung = 0, dazu benutzen wir die Kettenregel:

V ' (h) = 1/2 * 2m * (1m²-h²)^(-1/2) * -2h

= 1m * -2h/ Wurzel(1m²-h²) = 0............I * Wurzel(1m²-h²)

1m * -2h = 0...............I : 1m

-2h = 0

h = 0

Die Funktion hat nur ein Maximum bei h = 0, also keiner Höhe, aber das ist physikalisch blöd, weil ohne Höhe kein Volumen...Vielleicht ist an meinen Grundannahmen was falsch, ich telefonier erstmal zu Ende und guck es mir dann nochmal an.

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@LittleGum

Ganzrationale Funktion dritten Grades ist allgemein:

f(x) = ax³+bx²+cx+d

Du musst jetzt a,b,c und d bestimmen. Das machst du, indem du die Sachen einsetzt, die du gegeben hast. Du kennst schonmal zwei Punkte, durch die die Funktion geht:

(1/-2) und den Ursprung (0/0)

Also kannst du die schonmal einsetzen für x und f(x):

0 = a * 0³ + b * 0² + c * 0 +d = d

Also wissen wir: d = 0 Das können wir bei den folgenden also gleich weglassen, denn +0 hinten ändert ja nix.

-2 = a * 1³ + b * 1² + c * 1 + d = a+b+c (I)

Ein Tiefpunkt heißt, dass da die 1. Ableitung der Funktion = 0 ist und die 2. Ableitung größer als 0.

Die erste Ableitung ist:

f ' (x) = 3ax²+2bx+c

Die muss bei x = 1 also 0 sein:

0 = 3 * a * 1² + 2 * b * 1 + c = 3a+2b+c (II)

Und bei einem Wendepunkt ist die 2. Ableitung = 0. Die zweite Ableitung lautet:

f ' ' (x) = 6ax+2b

Die muss im Ursprung, also bei x = 0 null sein:

0 = 6 * a * 0 + 2 * b = 2b.............I : 2

0 = b

b ist also auch null. Das können wir in (I) und (II) einsetzen:

(I) a+b+c = -2

(II) 3a+2b+c = 0

werden also zu:

(III) a+c = -2 ..................I-a

c = -2-a

(IV) 3a+c = 0.............I c von oben einsetzen

3a-2-a = 0

2a-2 = 0.....................I +2

2a = 2..................I :2

a = 1

und damit c = -2-a = -2-1 = -3, also c = -3.

Damit lautet unsere Funktion:

f(x) = 1 * x³ + 0 * x² - 3 * x + 0

Also:

f(x) = x³-3x

Und schon fertig.

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@Hyde4

Ganz allgemein: Bei Extremwertaufgaben wie der ersten musst du dir eine Formel für das gewüschte suchen (hier für das Volumen) und die mit den Nebenbedingungen so ausdrücken, dass sie nur noch von der einen wichtigen Variable (hier: Höhe) abhängig ist und dann einmal ableiten und =0 setzen.

Bei diesen Steckbriefaufgaben nimmst du immer erstmal die allgemeine Funktion (Der Grad sagt dir, was der höchste Exponent ist, hier: 3) und setzt dann einfach alle Punkte ein, die du kennst. Dabei alle bekannten Punkte in die original f(x) einsetzen, Hoch-/Tiefpunkte sind Stellen, bei deren x-Wert die 1. Ableitung null ist, Wendepunkte sind Stellen, bei deren x die 2. Ableitung null ist, wenn du gegeben hast "In dem Punkt (x/y) ist die Steigung 3", dann setzt du die 1. Ableitung an der Stelle = der Steigung, also hier: f ' (x) = 3. Und so weiter.

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@Hyde4

Wir können auch die Länge l mal weglassen, die bleibt ja eh immer gleich, egal wie groß die Höhe wird. Dann können wir auch das Maximum der Grundfläche berechnen, das ist dann auch das Maximum des Volumens, da V = G * l und l = konstant.Ich lasse die Einheiten mal weg, es sind immer Meter bzw. m² usw., ist ohne etwas übersichtlicher.

A(h) = 1/2 * b * h = Wurzel(1-h²) * h

= Wurzel( h² - h⁴) = (h²-h⁴)^(1/2)

A ' (h) = 1/2 * (h²-h⁴)^(-1/2) * (-4h³+2h) = 0

-4h³+2h = 0

h * (-4h²+2) = 0

Also erste Lösung: h = 0, da ein Produkt null ist, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

Zweite und dritte Lösung:

-4h²+2 = 0...............I +4h²

4h² = 2......................I :4

h² = 1/2....................I Wurzel ziehen

h = Wurzel(1/2) = 0,707

h = - Wurzel(1/2) = -0,707

Also haben wir 3 Lösungen:

h = 0 geht nicht, weil man dann kein Volumen mehr hat ohne Höhe, dann ist V = 0.

h = -0,707 geht auch nicht, weil er ja nicht in den Boden graben will, sondern nach oben bauen (Minus ist nach unten in den Boden)

Also bleibt die einzig sinnvolle Lösung:

h = Wurzel(0,5m²) = 0,707m

Das Volumen beträgt dort:

V = G * l = Wurzel(1m²-0,5m²) * Wurzel(0,5)m * 2m

= 0,5 m² * 2m = 1 m³

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@Hyde4

Oder eben wenn du es als Volumen haben willst:

V(h) = A(h) * l= (h²-h⁴)^(1/2) * 2

V ' (h) = 1/2 * 2 * (h²-h⁴)^(-1/2) * (-4h³+2h) = 0

-4h³+2h = 0

und ab da ist es genauso.

Mein Fehler oben war, dass ich in der Formel für V(h) ein * h vergessen habe!

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@Hyde4

hmm...ich werd mir das mal alles noch durch den Kopf gehen lassen, bis ich es begreife, aber sehr lieb von dir und ich bedankeee mich ganz doll dafür.

Entschuldigung, ich weiß dass ich dich nerve, aber eine Frage habe ich noch, wie macht man das bei den Extremwertaufgaben, wenn man Minimum berechnen muss. Also z.B die kleinstmöglichste Fläche. Kannste mir da bitte helfen :)

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@LittleGum

Kannste mir das bitte nochmal erklären wie man die Nebenbedinung aufstellt, weil dort habe ich meine größten Probleme...

Schonmal danke im voraus und sry dass ich nerve :)

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