Extremwertaufgabe rechteck?

5 Antworten

Es wird nirgends erwähnt, wie groß s sein darf !

Hauptbedingung --> A = a * b

Nebenbedingungen -->

s = a + 2 * b

b = (s - a) / 2

Die zweite Nebenbedingung formen wir nach s um -->

s = 2 * b + a

s = a + 2 * b

Man erkennt, dass die zweite Nebenbedingung in Wahrheit die 1-te Nebenbedingung ist, es also in Wahrheit nur eine Nebenbedingung gibt.

s = 2 * b + a

Das lösen wir mal nach a auf -->

a = s - 2 * b

Das setzen wir nun in dir Hauptbedingung ein -->

A = (s - 2 * b) * b

A = s * b - 2 * b ^ 2 --> Das ist unsere Extremalfunktion

Wir bilden jetzt die 1-te und 2-te Ableitung von A, dabei wird nach b abgeleitet !!

A´= s - 4 * b

A´´= -4

Da die zweite Ableitung < 0 ist, sind automatisch alle Extremwerte, die wir finden, Maximas !

Erste Ableitung Null setzen -->

A ´ = s - 4 * b

s - 4 * b = 0

s = 4 * b

b = s / 4

Das setzen wir nun in die Nebenbedingung ein -->

a = s - 2 * b

a = s - 2 * (s / 4)

a = s / 2

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Mit a = s / 2 und b = s / 4 wäre also die Hauptbedingung A = a * b maximal.

Probe mit der Nebenbedingung -->

s = 2 * b + a

s = 2 * (s / 4) + s / 2

s = s / 2 + s / 2

s = 2 * s / 2

s = s

Das ist eine wahre Aussage, unsere Rechnung stimmt also.

Vielleicht schreibst Du auch die Rechenschritte auf.

Es ist möglich, dass Du die Funktion nicht richtig gebildet hast, deren Ableitung nicht richtig bestimmt hast oder die (andere Nullstelle nicht richtig bestimmt hast.

1. Eigendlich wäre der größte Grundstück ein Halbkreis,
aber warscheinlich war die Rechteck Form vorgegeben...
Antwort:
s konstant
A=a*(s-a)/2
A=s/2*a-a²/2
A'=s/2-2a/2=s/2-a=0  (ableiten und nullsetzen, das prinzip kennst du ja)
s/2-a=0 bedeutet
a=s/2  darau folgt
b=s/4
irgendwo ist bei dir das "/2" verloren gegangen,

Brauche Hilfe bei Extremwertaufgabe

Habe folgende Aufgabe und komme absolut nicht auf die Lösung. "Welches Rechteck mit Umfang 30 cm (mit dem Umfang a cm) hat die kürzeste Diagonale?"

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Hallo,

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s(x,y) = √(x² + (y-0,5)²)

Ich würde sagen, das ist die Hauptbedingung. Meine Nebenbedingung ist einfach die Funktion:

f(x) = y = 2 -1/2 * x²

Nun habe ich das eingesetzt und wie folgt umgeformt:

s(x) = √(x² + (-1/2 * x² +2-0,5)²)

= √(x² + (-1/2 * x² +1,5)²)

= √(x -1/2 * x² +1,5)²)

= -1/2x² +x +1,5

Davon habe ich nun die erste Ableitung gebildet und diese gleich Null gesetzt:

s'(x) = -x +1

-x + 1 = 0

=> x = 1

Nun haben wir schon mal den x-Wert. Jetzt müssen wir noch den dazugehörigen y-Wert ermitteln, indem wir x in die Nebenbedingung einsetzen:

f(1) = 1,5

Daraus folgt: Q(1|1,5).

Nun kann man ja 1 in s einsetzen und so die Länge der Strecke bestimmen:

s(1) = 2 LE

Und da gesagt ist, dass 1 LE = 100m, ist der kürzeste Weg von P(0|0,5) nach Q(1|1,5) genau 200m lang.

Stimmt mein Ergebnis so? Ich meine, die Zahlen deuten irgendwie darauf hin, aber ich bin mir sehr unsicher, weil wir auch diese Art von Extremwertaufgaben noch nie hatten...

Danke im Voraus für eure Hilfe.

LG ShD

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