Extremwertaufgabe rechteck?

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5 Antworten

Es wird nirgends erwähnt, wie groß s sein darf !

Hauptbedingung --> A = a * b

Nebenbedingungen -->

s = a + 2 * b

b = (s - a) / 2

Die zweite Nebenbedingung formen wir nach s um -->

s = 2 * b + a

s = a + 2 * b

Man erkennt, dass die zweite Nebenbedingung in Wahrheit die 1-te Nebenbedingung ist, es also in Wahrheit nur eine Nebenbedingung gibt.

s = 2 * b + a

Das lösen wir mal nach a auf -->

a = s - 2 * b

Das setzen wir nun in dir Hauptbedingung ein -->

A = (s - 2 * b) * b

A = s * b - 2 * b ^ 2 --> Das ist unsere Extremalfunktion

Wir bilden jetzt die 1-te und 2-te Ableitung von A, dabei wird nach b abgeleitet !!

A´= s - 4 * b

A´´= -4

Da die zweite Ableitung < 0 ist, sind automatisch alle Extremwerte, die wir finden, Maximas !

Erste Ableitung Null setzen -->

A ´ = s - 4 * b

s - 4 * b = 0

s = 4 * b

b = s / 4

Das setzen wir nun in die Nebenbedingung ein -->

a = s - 2 * b

a = s - 2 * (s / 4)

a = s / 2

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Mit a = s / 2 und b = s / 4 wäre also die Hauptbedingung A = a * b maximal.

Probe mit der Nebenbedingung -->

s = 2 * b + a

s = 2 * (s / 4) + s / 2

s = s / 2 + s / 2

s = 2 * s / 2

s = s

Das ist eine wahre Aussage, unsere Rechnung stimmt also.

Vielleicht schreibst Du auch die Rechenschritte auf.

Es ist möglich, dass Du die Funktion nicht richtig gebildet hast, deren Ableitung nicht richtig bestimmt hast oder die (andere Nullstelle nicht richtig bestimmt hast.

Du bist schon auf dem richtigen Weg. Du musst nur über den Umfang gehen.
u = 2a + b  oder b = u - 2a
Damit ist A = a * b
A = a (u - 2a)  
Üblicherweise bekommst du ein u gegeben. So musst du dir nur einbilden, dass u eine bekannte Konstante ist.
A = -2a² + u a
A' (a) = -4a + u

Für den Extremwert: A' = 0
-4a + u = 0
-4a       = -u
   a       = u/4

Die zweite Ableitung ist A'' = -4, mithin also stets ein Maximum.

b = u - 2a
b = u - 2(u/4)
b = u - 1/2 u = 1/2 u

Du bekommst also immer dann eine maximale Fläche, wenn eine Seite die Hälfte und die andere Seite ein Viertel des Umfangs ist.

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Das ist leichter zu durchblicken, wenn tatsächlich ein Umfang von 30 m oder etwas in der Art geben ist.

A = a * ( (s-a)/2 )

A = 1/2 as - 1/2 a²

A ' = 1/2 s - a = 0

a = 1/2 s  und b= 1/4 s

1. Eigendlich wäre der größte Grundstück ein Halbkreis,
aber warscheinlich war die Rechteck Form vorgegeben...
Antwort:
s konstant
A=a*(s-a)/2
A=s/2*a-a²/2
A'=s/2-2a/2=s/2-a=0  (ableiten und nullsetzen, das prinzip kennst du ja)
s/2-a=0 bedeutet
a=s/2  darau folgt
b=s/4
irgendwo ist bei dir das "/2" verloren gegangen,

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