Extremwertaufgabe mit Ableitung?

Aufgabe - (Mathematik, Physik, rechnen)

2 Antworten

Querschnitt (Rechteck + Halbkugel) f(x) = x * y + x^2 * PI/8

Umfang

U = x + 2*y + x*PI/2
y = (U - x * PI/2 - x)*1/2
y = U/2 - x * PI/4 - x/2

Zu besseren Lesbarkeit setze ich p = PI/8

f(x) = x * y + x^2 * p
y = U/2 - x * 2 * p - x/2

y in die Formel für den Querschnitt eingesetzt

f(x) = x * ( U/2 - x * 2 * p - x/2 ) + x^2 * p
f(x) = x/2 * U - x^2 * 2 * p - x^2/2 + x^2 * p
f(x) = x^2 * ( -2p - 1/2 + p ) + x * U/2
f(x) = x^2 * ( -p - 1/2 ) + x * U/2

Jetzt Nullstelle von f'(x) suchen (Extremwert)

f'(x) = 2x * ( -p - 1/2 ) + U/2

2x * ( -p - 1/2 ) + U/2 = 0

2x * ( -p - 1/2 ) = -U/2
x * ( p + 1/2 ) = U/4
x = U/( 4 * ( p + 1/2 ))
x = U / (4p + 2 )
x = U / (PI/2 + 2 )

Bei gegebenen Umfang U, muss an also

x = U / (PI/2 + 2 )
y = U/2 - x * PI/4 - x/2
setzen

irgendwie ist das jetzt auf einen Schlag die ganze Lösung geworden - und die eigentliche Frage wurde doch übergangen:

die Nullstelle von f'(x) ist zwar der Extremwert aber nicht zwingend das Maximum. Es kann ebenso ein Minimum sein. In diesem Fall ist es zwar korrekt das Maximum, dennoch ist die Hilfewirkung einer direkt hingeklatschten Lösung eine andere als wenn man die Stufen mit kleiner Hilfestellung selbst erklimmen muss.

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@Jackie251

Das erklärt sich doch von selbst (wo bleibt das "selbst erklimmen ?")

f'(x) = 2x * ( -p - 1/2 ) + U/2
f''(x) = 2 * ( -p - 1/2 )

f''(x) ist immer kleiner Null, also Maximum.


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man könnte natürlich viel besser helfen, wenn du deine Gleichungen mitgegeben hättest.
Ich komme auf eine negative Zahl bei der zweiten Ableitung

Hauptbedingung: A=xy+2PiR^2 / 2

Nebenbedingung: R=0,5x 

Dann setze ich R in A ein und leite dann A ab. 

A'=y+0,5x. 

A'=0 und dann steht bei mir x=-2y. 

Die zweite Ableitung ist dann bei mir 0,5. 

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@Alessandra93

Aber das ergibt ja keinen Sinn. Du hast nun 3 Unbekannte x, y und R
Zudem wenn du R in A einsetzt, hast du weiterhin eine Gleichung mit y und x und kannst so kein Maximum Berechnen.

Die Hauptbedindung ist schon richtig. Das was du jedoch als Nebenbedingung betrachtest, ist nur die notwendige Vereinheitlichtung der Variablen. Denn du hast den Durchmesser einmal als Variable x und einmal als Variable 2*R definiert.

Die Eigentlich Nebenbedingung ist der Umfang des Tunnels.

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@Jackie251

Danke für die Antwort, allerdings steht bei mir jetzt, nachdem ich die erste Ableitung gebildet und sie gleich 0 gesetzt habe: -1,5x=0,5xPi und das hilft mir jetzt auch nicht :-/

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