Extremwertaufgabe Mathmatik?

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3 Antworten

Am Ende ist ein Graph der Funktion (Zeichnung) als Bild.

Die Zahlen mit der Summe 12 sollen so gewählt werden dass, die Summe ihrer Quadrate minimal wird.


x + b = 12

Für welche beiden Zahlen ist dies der Fall und welchen Wert hat an dieser Summe?


x² + b² soll minimal sein



Die Gleichung x + b = 12 nach b auflösen

x + b = 12        |-x
      b = 12 -x

In den Term dieses "Ergebnis" für b einsetzen

x² + b²  einsetzen.

Man erhält:

x² + (12 -x)²


Der Wert soll mininmal sein
=> f(x) = x² + (12 -x)²      oder   y = x² + (12 -x)²

Den Scheitel (=das Minimum der Parabel) bestimmen

Es gibt die Möglichkeit über die Ableitung: f(x) auflösen und dann  f'(x)=0 setzen.

Die andere Möglichkeit ist über die Scheitelform

f(x) = x² + (12 -x)²   oder falls dir die Schreibweise f(x) nicht bekannt ist
y= x² + (12 -x)²


y= x² + (12 -x)²                  | 2. Binom auflösen


y = x²  +  144 -24x + x²      | zusammenfassen   

y = 2x² -24x + 144             | Faktor a ausklammern


y = 2*(x² -12x + 72)           | Nun in die Scheitelform umwandeln

Das Verfahren, das man dabei anwendet, ist die quadratische Ergänzung.


y = 2*(x² -12x + 72)   

x² -12 ist der Anfang eines zweiten Binoms (x -6)² = x² -12x +36

deshalb nimmt man nur 36 von den 72

y = 2*([x² - 12x + 36] +36)               

in der [ eckigen Klammer ] steht das 2. Binom


y = 2*([x -6]² +36)


y = 2*(x-6+ 72

Dies ist die Scheitelform, aus dieser kann man den Scheitel direkt ablesen.


S (6/72)

Dies bedeutet: für x = 6 hat die Funktion den kleinsten Wert, die Summe der Quadrate beträgt 72.


Nun noch b bestimmen

b = 12 -x


b = 6

Probe:

x² + b² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72   passt.


Graph - (Mathe, Extremwertaufgaben)
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Zwei Zahlen mit der Summe 12 sollen so gewählt werden dass, die Summe
ihrer Quadrate minimal wird.


x + b = 12

Für welche beiden Zahlen ist dies der Fall und welchen Wert hat an dieser Summe?

x² + b² soll minimal sein

Die Gleichung x + b = 12 nach b auflösen


x + b = 12        |-x
      b = 12 -x

In den Term 

x² + b²  einsetzen.

x² + (12 -x)²

Der Wert soll mininmal sein

=>

f(x) = x² + (12 -x)²

Minimum der Parabel bestimmen

f(x) auflösen und dann  f'(x)=0 setzen.

Abschließend noch

b bestimmen

und Summe der Quadrate

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Kommentar von XMeee
08.02.2017, 14:36

Wie bestimmt man das minimum?

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Kommentar von XMeee
08.02.2017, 14:41

Im Unterrichr hatten wir noch nie etwas wie möglist klein/groß :/ bin leicht verwirrt

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Kommentar von HCS41
08.02.2017, 14:42

f(x) = x² + (12 -x)²

oder falls dir die Schreibweise f(x) nicht bekannt ist y= x² + (12 -x)²

y= x² + (12 -x)²

y = x² + 144 -24x + x²

y = 2x² -24x + 144

y = 2*(x² -12x + 72)

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Kommentar von XMeee
08.02.2017, 14:47

wie bring ich das dahin?

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Kommentar von XMeee
08.02.2017, 14:48

Das oben hab ich gerechnet .Kommt aber -6x und 144 raus

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Kommentar von XMeee
08.02.2017, 14:51

Wie geht das da genau?Also das Ergänzen?Hab da nen Fehler drinnen

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Welche Aufgabe?

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Kommentar von XMeee
08.02.2017, 14:29

zwei Zahlen mit der Summe 12 sollen so gewählt werden dass, die Summe ihrer Quadrate minimal wird.Für welche beiden Zahlen ist dies der Fall und welchen Wert hat an dieser Summe?

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Kommentar von XMeee
08.02.2017, 14:30

Dachte da ist n bild dabei, deswegen auch doppelbeitrag

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