Extremwertaufgabe helfen?

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3 Antworten

  Normal macht man sowas ja mit dem ===> Lagrangeverfahren ( LV )  Ich bin bloß dahinter gekommen, dass das beim Zylinder viel zu umständlich ist; ich schlage ein Vorgehen vor, das

Schülern one großes Blabla zugänglich ist: das ===> implizite Differenzieren ( obgleich der Unterschied zum LV so groß nun auch wieder nicht ist. )

   Hauptbedingung

   V  (  r  ;  h  )  :=  r  ²  h  =  max   (  1a  )

   O  (  r  ;  h  )  :=  r  ²  +  r  h  =  const  =  c  >  0   (  1b  )

   Jetzt tust du die erste Ableitung von ( 1a ) Null setzen, wie du es gewohnt bist. Abgelitten wird nach r  ; aber eigentlich ist ja h eine Funktion h = h ( r ) ( eben eine implizite Funktion ) Wir berücksichtigen das wie üblich über die Kettenregel:

   V  '  =  2  r  h  +  r  ²  h  '  =  0    |  :  r      (  2a  )

     2  h  +  r  h  '  =  0     (  2b  )

    Die Division durch r ist zulässig; zwar wäre r = 0 auch eine Lösung, aber im Widerspruch zu Ungleichung ( 1b )

   Die Oberfläche O in ( 1b ) ist als Nebenbedingung konstant; und die Ableitung einer Konstanten ist natürlich Null:

   O  '  =  2  r  +  h  +  r  h  '  =  0    (  3a  )

   Hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an; ( 2b;3a ) umstellen nach r h '

   2  h  =  2  r  +  h   (  3b  )

    h  =  2  r    (  3c  )

   Es fällt auf, dass ( 3c ) die Form eines allgemeinen Gesetzes hat: Der Zylinder ist eben so dick wie hoch. Das liegt natürlich daran, dass der konkrete Zahlenwert für die Oberfläche von ( 1b ) nirgends eingang findet in die Rechnung - ein klarer vorteil, wie mir scheint. Denn unter ( 3c ) können wir uns etwas Anschauliches vorstellen. Konkrete nummerische Rechnungen werden eindeutig auf die Nachbereitung vertagt.

   Ganz allgemein fällt auf, dass hier weniger Kenntnisse in Ableitungsregeln gefordert werden. folgende Empfehlungen an dich, den Lehrer und die Klasse: Es gibt Online Portale, welche die Höhenlinienprofile ( 1ab ) erstellen; du müsstest das als Powerpoint-Präsentation auf zwei Klarsichtfolien machen, die du übereinander legen kannst. r ist Abszisse und h Ordinate. Dann sind dir ja O und V als implizite funktionen gegeben.

  Nebenbedingung ( 1b ) bedeutet, dass du immer dem Höhenpfad (1b ) folgen musst; dabei schneidest du die verschiedensten V-Niveaulinien in ( 1a ) je nachdem, ob das volumen wächst oder schrumpft. Notwendige Bedingung für maximales Volumen ist offenbar, dass beide Höhenlinien ( 1ab ) gleiches h ' = ( dh/dr ) , mithin gleiche Tangente haben. Wenn ihre Tangenten gleich sind, so auch ihre Kurvennormalen - und das ist der entscheidende Schritt hin zum LV . Mir geht es darum, dass ihr alle das LV benutzen dürft, weil das gerade den schwächeren Schülern große Vorteile bringt; es entlastet dich von der lästigen formalen Arbeit des Differenzierens.

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Zielfunktion : V = (1 / 3) * pi * r ^ 2 * h

Nebenbedingung : O = pi * r ^ 2 + pi * r * √( r ^ 2 + h ^ 2)

Nach einer Variablen auflösen, ich habe mich für h entschieden -->

100 = pi * r ^ 2 + pi * r * √( r ^ 2 + h ^ 2) |-pi * r ^ 2

100 - pi * r ^ 2 = pi * r * √( r ^ 2 + h ^ 2) | : (pi * r)

(100 - pi * r ^ 2) / (pi * r) = √( r ^ 2 + h ^ 2)

100 / (pi * r) - r = √( r ^ 2 + h ^ 2)  | (...) ^ 2

(100 / (pi * r) - r) ^ 2 = r ^ 2 + h ^ 2 | - r ^ 2

(100 / (pi * r) - r) ^ 2 - r ^ 2 = h ^ 2 |√(...)

h = √((100 / (pi * r) - r) ^ 2 - r ^ 2)

Variable h in die Zielfunktion einsetzen -->

V = (1 / 3) * pi * r ^ 2 * √((100 / (pi * r) - r) ^ 2 - r ^ 2)

Erste Ableitung bilden -->

Hier habe ich auf eine Handrechnung aus Zeitgründen schlichtweg keine Lust, deshalb hole ich mir Unterstützung von Wolfram Alpha http://www.wolframalpha.com/

Der derivate - Befehl berechnet die 1-te Ableitung zu -->

V ´ = (pi * (2 * (-100 / (pi * r ^ 2) - 1) * (100 / (pi * r) - r) - 2 * r) * r ^ 2) / (6 * √((100 / (pi * r) - r) ^ 2 - r ^ 2)) + 2 / 3 * pi * √((100 / (pi * r) - r) ^ 2 - r ^ 2) * r

Die Nullstellen der 1-ten Ableitung ebenfalls von WolframAlpha ausrechnen lassen -->

r _ 1 = -5 / √(pi)

r _ 2 = +5 / √(pi)

Da es keine negativen Werte für den Radius geben kann fällt die mathematische Lösung r _ 1 automatisch weg, bleibt nur noch übrig -->

r  = +5 / √(pi)

Diesen Wert für r müssen wir in die Nebenbedingung einsetzen -->

h = √((100 / (pi * r) - r) ^ 2 - r ^ 2)

h = √((100 / (pi * (5 / √(pi))) - (5 / √(pi))) ^ 2 - (5 / √(pi)) ^ 2)

h = 10 * √(2 / pi)

r und h setzen wir jetzt noch in unsere Zielfunktion ein -->

V = (1 / 3) * pi * (5 / √(pi)) ^ 2 * (10 * √(2 / pi))

V = 66.490380066905446323324343322396978 ... cm ^ 3

r = 2.8209479177387814347403972578 ... cm

h = 7.9788456080286535587989211986 ... cm

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Kommentar von Epicmetalfan
02.12.2015, 15:30

ich hab mir nicht alles angeguckt, sind aber definitv fehler falsch, zumal es um einen zylinder und keinen kegel geht.

V= G * h= r² * pi *h

O = 2 * G + M= 2 * (r² * pi) + (h * 2 * pi * r)

1

Da meine erste Antwort für einen Kegel war, hier noch mal eine neue Antwort, diesmal für einen Zylinder.

Zielfunktion --> V = pi * r ^ 2 * h

Nebenbedingung --> O = 2 * pi * r ^ 2 + 2 * pi * r * h

Nach h auflösen -->

100 = 2 * pi * r ^ 2 + 2 * pi * r * h | - 2 * pi * r ^ 2

100 - 2 * pi * r ^ 2 = 2 * pi * r * h | : (2 * pi * r)

h = (100 - 2 * pi * r ^ 2) / (2 * pi * r)

h = 50 / (pi * r) - r

Variable h in Zielfunktion einsetzen -->

V = pi * r ^ 2 * (50 / (pi * r) - r)

V = 50 * r - pi * r ^ 3

Erste Ableitung bilden -->

V´ = 50 - 3 * pi * r ^ 2

Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen -->

r _ 1 = -5 * √(2 / (3 * pi))

r _ 2 = +5 * √(2 / (3 * pi))

Da es keine negativen Werte für den Radius geben kann fällt die mathematische Lösung r _ 1 automatisch weg, bleibt nur noch übrig -->

r = 5 * √(2 / (3 * pi))

r = 2.3032943298089031951016309735 ... cm

Den Wert für r müssen wir  in die Nebenbedingung einsetzen -->

h = 50 / (pi * r) - r


h = 50 / (pi * (5 * √(2 / (3 * pi)))) - (5 * √(2 / (3 * pi)))


h = 4.606588659617806390203261947 ... cm


r und h setzen wir jetzt noch in unsere Zielfunktion ein -->

V = pi * r ^ 2 * h


V = pi * (2.303...) ^ 2 * 4.506...


V = 76.77647766029677317005436578... cm ^ 3


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