Extrempunkte mit Nebenbedingungen?

3 Antworten

f(x)=-0,25*x²+4 Nullstellen bei x1,2=+/- Wurzel(4/0,25)=+/-4

g(x)=0,5*x²-2 Nullstellen bei x1,2=+/- Wurzel(2/0,5)=+/-2

f(x)=g(x) Schnittstellen bei x1,2=+/- 2,828... y1=2 y2=2

Aus der Zeichnung,siehe Willy ergibt sich

1) A=a*b=(f(x)-g(x))*x

-1*g(x) weil ja zwischen x1=0 und x2=2 der Wert für g(x)=negativ ist

also a=f(x)+Betrag(g(x)

A(x)=(-0.25*x²+4-0,5*x²+2)*x

A(x)=-0,75*x³+6*x Maximum bei x=1,63299... habe ich mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio) ermittelt.

in Handarbeit mußt du eine Kurvendiskussion durchführen

A´(x)=0=.... ableiten und Nullstelle von A´(x)=0 ermitteln

A´´(x)=.... prüfen,ob ein Maximum oder Minimum vorliegt

Besonderheit bei dieser Aufgabe:

auch bei x>2 gilt A=a*b=(f(x)-g(x))*x

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Die Nebenbedingung ist, dass die Punkte auf den Parabeln liegen müssen.

Wenn a die Länge des Rechtecks in x-Richtung ist, so gilt:

b = f(a/2) - g(a/2)

Hallo,

da sowohl das Rechteck als auch die beiden Parabeln symmetrisch zur y-Achse sind, reicht es, das halbe Rechteck zu betrachten, also die Hälfte des Rechtecks rechts von der y-Achse.

Wenn diese Hälfte maximal ist, ist auch das ganze Rechteck maximal.

Da die Punkte auf einer Parallelen zur y-Achse und gleichzeitig auf jeweils einer der Parabeln liegen, müssen zwei senkrecht übereinanderstehende Ecken des Rechtecks den gleichen x-Wert besitzen.

Die Breite des halben Rechtecks ist natürlich x, die Höhe ist die Differenz aus f(x) und g(x).

Die Zielfunktion, die es zu maximieren gilt, lautet demnach

A(x)=x*[f(x)-g(x)]

Für die Fläche des gesamten Rechtecks mußt Du nach Fertigstellung der Aufgabe die doppelte Breite, also 2x, nehmen, weil x nur die Breite des halben Rechtecks ist.

Herzliche Grüße,

Willy

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