Extrempunkte berechnen? Wie mache ich das?

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3 Antworten

kurz:

du musst die 1. Ableitung bilden und Nullsetzen.

ausführlich:

Extrempunkte berechnen (Theorie)

Zuerst müssen wir uns überlegen, wann die Eigenschaften von einem Extrempunkt gegeben sind. Wann sind die höchsten Punkte und wann die tiefsten. Dafür steigen wir in Gedanken auf unser Fahrrad (wem das zu anstrengend ist: Motorrad) und fahren auf unserem Funktionsgraphen los. Wir nehmen an, dass es anfangs nur bergauf geht. Wir suchen den höchsten Punkt, das heißt also, sobald es nicht mehr bergauf geht, haben wir unseren höchsten Punkt – unser Maximum – erreicht und fahren ab da bergab.

Wir übertragen unser Modell auf die Mathematik. Zuerst das Maximum: Die Funktion steigt monoton an (die Ableitung ist solange positiv), nach dem Erreichen des Hochpunkt fällt die Funktion monoton (ab dort ist die Ableitung negativ). Wir suchen also die Stelle, an der die Ableitung von positiv zu negativ wechselt, also die Nullstelle der Ableitung. Das ist die notwendige Bedingung, an dieser Stelle können wir aber noch nicht entscheiden, ob es sich wirklich um ein Maximum handelt.

Das Gleiche gilt auch für das Minimum: Die Funktion fällt monoton (solange ist die Ableitung negativ), ab dem Minimum steigt die Funktion wieder monoton (die Ableitung wechselt ins Positive). An der Stelle, an dem die Ableitung Null ist, befindet sich also unser Extrempunkt. Ob es ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, können wir erst später entscheiden. (Quelle: http://www.mathematik-wissen.de/extremwerte.htm)

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Melrose2000 25.03.2012, 13:19

Muss ich also die Nullstellen der Ableitung berechnen ? Woher weiß ich dann welches hochpunkt und welches Tiefpunkt ist ? :P

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Fox0815 25.03.2012, 13:27
@Melrose2000

Wenn du die Nullstellen der 1. Ableitung berechnet hast, setzt du die Ergebnisse in die Ausgangsfunktion ein (nicht in die Ableitung). Damit erhälst du die Punkte der Extrema.

Diese x-werte setzt du nun in die 2. Ableitung ein und prüfst, dass das Ergebnis nicht Null ist.

  • Ist dieses Ergebnis negativ, hast du einen Maximum
  • Ist dieses Ergebnis positiv, hast du einen Minimum

(steht sowas heute garnicht mehr in den Schulbüchern?)

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Fox0815 25.03.2012, 13:53
@Melrose2000

die Zweite Ableitung ist die die Ableitung der 1. Ableitung... Und schon bist du all deinen Mitschülern eins vorraus ;)

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einfach ausrechnen

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