Extremalproblem max Flächeninhalt Quadrat innerhalb einer quadratischen Gleichung?

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4 Antworten

Aufgrund der zur y-Achse symmetrischen Parabel ergibt sich ein einziges Quadrat, das in die von x-Achse und Parabel umrandete Fläche
einbeschrieben werden kann.

Bedingung: y = 2x

→  2x = -x² + 16  →  0 = x² + 2x - 16

x1 ≈ 3,123,   ( x2 ≈ -5,123 )

y(3,123) = - (3,123)² + 16 ≈ 6,246

Das Quadrat hat  A = 6,246² FE ≈ 39 FE.

LG

Das Quadrat besitzt von allen einbeschriebenen Rechtecken den größten Flächeninhalt. 

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Danke für deine Antwort, aber ich bin mir nicht so sicher obs stimmt, da man ja bei extremwertaufgaben immer die 2. ableitung miteinbezieht um das maximum auszurechnen.

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Ähh die 1. Ableitung meinte ich

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@12345abc12345

Man kann sich der Mühe unterziehen und eine echte Extremwertaufgabe daraus machen, indem man dasjenige einbeschriebene Rechteck ermittelt, das den größten Flächeninhalt besitzt. Dieses Rechteck ist eben das Quadrat (siehe meinen vorangestellten Kommentar). Damit kann man die numerische Lösung der Extremwertaufgabe umgehen. 

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@Halswirbelstrom

Berichtigung: Die einbeschriebene Fläche mit dem größten Flächeninhalt ist in diesem Fall ein Rechteck mit ca. 49FE. Weil aber nur ein einziges einbeschriebenes Quadrat mit maximaler Fläche existiert, ist diese Aufgabe keine Extremwertaufgabe.

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Dies ist eine Parabel ,die nach unten geöffnet ist und symetrisch zur y-Achse liegt.

Bei einen Quadrat gilt A= a * a=a^2 oder hier A=y^2 wobei gilt y=2*x

2 *x= - x^2 + 16 ergibt 0=-x^2 +16 - 2*x Nullstellen bei x1=3,123 x2=5,123

brauchbar ist nur x1=3,123 ergibt y= - 3,123^2 +16 =6,2468..

A= y^2=6,2468^2=39,02 FE (Flächeneinheiten) oder A= 2 *x * y

HINWEIS : Auch das Quadrat liegt symetrisch zu y-Achse ,deshalb y=2 *x

Bei einen Rechteck wäre A=a *b=y *x

 A= (-x^2 +16) *x=-x^3 + 16 *x nun eine einfache Extrempunktermittlung

abgeleitet A´= - 3 * x^2 + 16 ergibt 0= - 3 *x^2 +16 Nullstellen bei x1=2,3o9

x2= - 2,309 ergibt y= - 2,309^2 + 16=10,668

A= 2*2,309 * 10,668=49,267 FE maximale größe des Rechtecks.

überprüfe das Ergebnis mit Kontrollrechnungen !!

Wir suchen also einen Punkt auf der x-Achse, für den das Quadrat am größten ist, wenn die Fläche A = h * v mit

Horizontale Kante, nennen wir sie mal h = 2 * x

Vertikale Kante v = f(x)

maximal ist für h = v.

Fläche = h * v = 2 * x * f(x) = 2 * x * (x^2+16).

"soll maximal sein", was fällt einem dazu ein? Richtig: Ableitung hat Nullstelle.

A(x) = 2 x^3 + 32 x

A'(x) = 6 x^2 + 32

--> 6 x^2 + 32 = 0

x^2 = 32/6

x = (32/6)^(1/2)

Hoffentlich stimmt's ;)

Ups. Habe das "-" vergessen...

Fläche = h * v = 2 * x * f(x) = 2 * x * (-x^2+16).

A(x) = -2 x^3 + 32 x

A'(x) = -6 x^2 + 32

--> -6 x^2 + 32 = 0

x^2 = 32/6

x = (32/6)^(1/2)

A(x) ≈ 2 * sqrt(5) * (16 - 5) = 22 * sqrt(5)

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@c2j2016

Flächeninhalt des Rechtecks:

y = f(x) = - x² + 16,   A = y ∙ 2x    (1)   

→   A = (- x² + 16) ∙ 2x = - 2x³ + 32x

→   A´= - 6x² + 32 = 0    →   x = √(32 / 6) ≈ 2,31 

→   A = - 2 ∙ 2,31³ + 32 ∙ 2,31 ≈ 49

(1)  →   49 = f(x) ∙ 2x  →   f(x)  = 49 / (2 ∙ x) ≈ 10,6

x ≈ 2,31LE  und y ≈ 10,6 LE

Der Flächeninhalt ist A ≈ 49 FE. Die Seiten sind  y = 10,6LE  und   2x = 4,62LE.

Dabei handelt es sich bei der einbeschriebenen Fläche um die mit dem größten Flächeninhalt. Diese Fläche ist aber ein Rechteck und kein Quadrat.

MfG

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bist du sicher mit "Quadrat" und nicht "Rechteck" ?

Ja steht quadrat in der aufgabe. Ich poste das bild hier drunter. Ist die 1.1

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Ok das geht irgendwie nicht. Naja es handelt sich auf jeden fall um ein quadrat.

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Steht alles da was in der aufsbenstellung gegeben ist

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@12345abc12345

dann 2x=-x²+16 lösen

wenn es Rechteck heißen würde, dann A ' = 0 mit A=x(-x²+16)

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