Exponentielles und lineares Wachstum?

2 Antworten

Lineares Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass die Steigung an jeder Stelle gleich ist. Nur lineare und Konstante Funktionen (die auch lineare Funktionen mit m=0 sind) erfüllen das.

Das b als Verschiebung entlang der y-Achse kannst du grundsätzlich bei jeder Funktion haben und charakterisiert, welchen Wert du am Start hast bei x=0. 

Das einfachste Beispiel sind die Kosten einer Maschine. Die Fixkosten in Höhe von vielleicht 100.000€ hast du so oder so bei der Anschaffung, egal, was du damit machst. Das ist das b. Die variablen Kosten kommen oben drauf. Du hast vielleicht variable Kosten (Strom+Kühlmittel+Material...) von 20€ pro Stück, das ist die Steigung. Und die Kosten pro Stück ändern sich auch nicht (muss in der Realität nicht unbedingt zutreffen, wird aber oft angenommen). Je nachdem, wie viele du anfertigst, steigen die Gesamtkosten damit.

Bei linearen Funktionen gesuchte Größen auszurechnen, ist völlig simpel. Du benötigst nur +/- / * /:  Wie man umformt, musst du aber wirklich selbst wissen. 

Exponentielles Wachstum ist fundamental bei Krediten/Finanzierung und mehr oder weniger auch bei der Beschreibung von Epidemie-Ausbreitungen. Das charakteristische ist, dass das, was du nach dem ersten Schritt mehr bekommst, im zweiten Schritt die neue Grundlage bildet, die wiederum potenziert. Bei einer verbreiteten Krankheit ist es auch nicht so, dass die Anzahl der Kranken in einer festen Summe oben drauf auf den Stapel kommt (das wäre lineares Wachstum), sondern, dass die ohnehin schon erkrankten, allesamt wieder neue Leute anstecken können, diese können dann wieder alle neue Leute anstecken. 

Du kannst auch dort wieder eine Verschiebung um einen konstanten Betrag haben (wie das b). Das B bildet den Ausgangswert wie bspw angelegtes Geld i.H.v. 500€ , das q ist die "Veränderung", hier wäre das der Zinssatz, zu dem das Geld angelegt wird. Der Exponent gibt die Anzahl der Zeitperioden an.

Elementare Operatoren neben den o.g. Grundrechenarten sind die Potenzierung mit einer beliebigen Basis sowie der Logarithmus. In der Mittelstufe genügt es, zu wissen, was man damit erreichen will, also den Exponenten, der oben steht, in die Basis zu holen, um den Wert (die nötigen Perioden) zu berechnen.

Vielen vielen Dann erstmal! Wofür dient denn die 0 in der Klammer [B(0)]

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@ccskyllen

Ich würde die Null eher in den Index schreiben, diese Schreibweise ist mir nicht geläufig. Die sagt aber im Grunde auch nur aus,was du als Startwert, also vor jeglicher Anlage an der Bank bspw, an Geld zur Verfügung hast. Das ist ein konstanter Wert (jedenfalls, wenn du die Funktion als Exponentialfunktion betrachtest).

Was du allerdings machen kannst, falls du es unbedingt Schritt für Schritt aufschreiben willst, ist, jedes Mal die Basis neu zu definieren mit einem neuen Index, wie B1,2,3.... Nach dem ersten Jahr sind die 500€ vielleicht schon zu 505€ angestiegen, die nun die neue Basis B1 bilden, die nun wieder angelegt werden. 

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Falls es dich interessiert (eher nicht klausurrelevant), hier die Konsequenzen, die du dann aber auch einhalten müsstest, wenn der Rahmen (insbesondere inklusive der Perioden) fest vorgegeben ist:

Du müsstest dann aber auch den Exponenten (die "Hochzahl" bzw verbleibenden Perioden) jedes Mal um einen verringern: 

Angenommen, du darfst deine 500€ über 10 Jahre anlegen für 2%. Dann ist 

500*1,02^10 

dasselbe wie 

[neue Basis "B1"] * 1,02 ^9 = [500*1,02] * 1,02^9 

So ziehst du die erste Periode inklusive Verzinsung als Startwert aus der Formel heraus, wenn du unbedingt mit einer neuen Basis rechnen willst, weil du dir vielleicht vor Augen halten willst, wie viel Geld du abheben könntest, wenn du vor Ablauf des neuen Jahres/Monats/... die Anlage an der Bank beenden würdest. Oder warum auch immer.

Der simple mathematische Beweis, warum o.g. Formel nach wie vor richtig ist:

Potenzregel: a^n * a^m = a^(n+m) 

500*1,02  * 1,02^9 = 500* 1,02^1  * 1,02^9

=500* 1,02^(1+9) = 500*1,02^10 

... Und da hast du wieder die ausgängliche Formulierung ^^

Lass dir diesen Absatz aber auch nicht zu sehr zu Kopf steigen. Den Gedanken dahinter sollte man kennen, für Klausuren ist eher die Rechnerei und das drum herum interessant.

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Die Frage hättest du schon vor einer Woche stellen solle. ! Das kommt leider zu spät und wird nicht mehr, Süße...

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