Exponentialfunktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt?

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5 Antworten

y=e^x ist tatsächlich die einzige Funktion, deren Ableitung wieder sie selbst ergibt. e gehört, neben 0, 1, i (der Wurzel aus -1) und der Kreiszahl π zu den fünf wichtigsten Zahlen der Mathematik,

e ist in der Infinitesimalrechnung die wichtigste Zahl, so wie π in der Geometrie. Wie wichtig 0 und 1 sind braucht wohl nicht erwähnt zu werden. 1 ist die Basis jeden Zählens und neutrales Element der Multiplikation, 0 ist ganz wesentlich für die Bildung von Zahlensystemen und das neutrale Element der Addition. im Grunde genommen braucht man gar keine weiteren Ziffern als 0 und 1, nur werden die Zahlen im Binärsystem sehr schnell sehr lang, Deshalb ist das zumeist verwendete Dezimalsystem für den Gebrauch praktischer.

Und i ist äußerst wichtig für die Algebra; ohne i lassen sich gewisse algebraische Gleichungen nicht lösen. Außerdem ist i die Basis der imaginären Zahlen, die zusammen mit den reellen Zahlen (für die 1 die Basis ist) die komplexen Zahlen bilden,

Und zwischen diesen fünf Zahlen gibt es einen Zusammenhang, der in einer einzigen Formel kulminiert, die von einem Gremium aus Mathematikern und Naturwissenschaftlern zur schönsten Formel überhaupt gewählt wurde: Euler's Identität.

Hier ein Link zu der Formel: http://f1stephensmith.files.wordpress.com/2012/07/euler-identity-big-inverted.png

Was aber ist so schön an dieser Formel? Nun, sie enthält die fünf wichtigsten Zahlen, die drei wichtigsten Rechenarten (Addition, Multiplikation und Potenzieren; Subtraktion, Division und Wurzelziehen sind nur die Umkehrung davon und im Grunde genommen gar nicht notwendig, da sie in den anderen drei Rechenarten bereits enthalten sind) und den wichtigsten Relationsoperator (das Gleichheitszeichen) jeweils genau einmal. Zudem bringt sie drei völlig verschiedene Bereiche der Mathematik (Geometrie, Infinitesimalrechnung und Algebra) miteinander in Verbindung. Wenn das nicht schön ist!

Carl Friedrich Gauss meinte übrgens, dass diese Formel unmittelbar einsichtig ist.

Daß Du mit der Eulerschen Zahl e richtig liegst, haben die Kollegen ja schon bestätigt.

Schau mal hier, da wird gezeigt, wie die Ableitung durch einen Differenzenquotienten mit h gegen null errechnet wird:

http://oberprima.com/mathematik/ableitung-exponentialfunktion-herleitung-e-654/

Ein GTR ist eine bestimmte Sorte Taschenrechner. Siehe Wikipedia unter "Grafikfähiger Taschenrechner".

bunteblumen 03.09.2013, 20:16

Danke, danke, danke :)

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Franz1957 03.09.2013, 20:20

Hier ist die Herleitung der Ableitung auch erklärt (in Abschnitt 2):

http://emath.de/Referate/Die-unschlagbare-e-Funktion.pdf

Die Basis, also e, numerisch bestimmen – das könnte auf dem graphischen Taschenrechner so aussehen, daß man sich die Kurve von e hoch x anzeigen läßt und genau abzulesen versucht, welchen y-Wert sie bei x=1 hat. Vielleicht kann man bei diesen Dingern die Stelle des Bildes heranzoomen.

Du kannst auf jeden Fall den Wert von e leicht durch die Reihenentwicklung annähern. (x! ist die Fakultätsfunktion 1 * 2 * 3 * ... * x.)

e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...
  =  1   +  1   + 1/2  + 1/6  + 1/24 + ...

Das ist nicht schwer zu rechnen und man kommt rasch auf einen brauchbaren Zahlenwert.

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psychironiker 03.09.2013, 21:39
@Franz1957

Die Reihen konvergiert (sogar) sehr viel schneller als die Folge der (1 + 1/n)^n. -

Bloß wie kommt man ohne (recht viel) Folgentheorie zu einer Herleitung, warum

∑ 1/n! ,n = 0,.., ∞

gegen den gleiche Wert konvergiert wie

(1 + 1/n)^n ?

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An sich ist die Funktion, bei der Funktion und Ableitung übereinstimmen:

f(x) = e^x

f' (x) = e^x

A. Ich denke mir Folgendes: Der Differenzenquotient von b^x ist:

(b^(x +h) - b^x) / h =

b^x ( b^h - 1)/ h; entsprechend ist

lim b^x ( b^h - 1)/ h (wobei h → 0)

der Differentialquotient ( = Wert der Ableitung.) Da b^x eine Konstante ist, kannst du umformen:

lim b^x ( b^h - 1)/ h = b^x * lim ( b^h - 1)/ h = b * k (wobei k = lim ( b^h - 1)/ h )

die Ableitung ist in jeder Stelle x um den Faktor k größer bzw. kleiner als b^x. Das kann als Streckung der Graphen parallel zur y-Achse um den Faktor k aufgefasst werden, was die Sprechweise "Streckfaktor" begründen könnte.

Also ist (b^x)' = b^x genau dann, wenn k = 1 ist ⇔

lim (b^h -1) / h = 1; (1)

Statt h → 0 kann auch n = 1/h → ∞ gehen. Einsetzen von h = 1/n in (1) ergibt:

lim (b^(1/n) - 1) * n = 1 ; | : n; | +1; | ^n

Wenn du die Gleichung (b^(1/n) - 1) * n = 1 nach n auflöst (Umformungen wie angegeben) bekommst du:

(1 + 1/n) ^n = b;

wenn also die Zahlenfolge a_ n =(1 + 1/n) ^n für n → ∞ gegen eine Grenzwert b konvergiert, erfüllt dieser dann die Bedingung (1) (klarmachen durch Einsetzen und Verwenden der Grenzwertsätze).

a_n ist konvergent (Beweise gibt's zuhauf im Internet, suche "(1 + 1/n)^n Konvergenz") und zwar - wer hätte es gedacht - gegen die Eulersche Zahl e. Also ist die Bedingung (1) erfüllt, wenn b = e ist, taraa taraa...


B. Ein GTR ist ein programmierbarer Taschenrechner, der die z.B. dass 100te, 1000te und 10 000te Glied der Zahlenfolge a_ n ausspuckt. Das ist dann die gefragte Näherung von e.

bunteblumen 03.09.2013, 20:18

Vielen, vielen, lieben Dank, für Deine Mühe!!! :)

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psychironiker 03.09.2013, 20:30

Ein GTR ist (auch) ein grafikfähiger Taschenrechner (siehe Franz 1957).

Gemeint sein kann auch, dass du mit verschiedenen b's (die zwischen 2 und 3 liegen) so lange herumexperimentieren sollst, bis der Streckfaktor

k = lim ( b^h - 1)/ h für h → 0

möglichst nahe bei 1 liegt, also graphisch: Bis sich die Graphen von b^x und (b^x)' möglichst wenig unterscheiden.

Vorteil: Das erspart das Gripsschmalz mit dem Übergang auf die Folge a_ n.

Nachteil: Rein durch Optik (und ohne Rechnung) lässt sich höchstens vermuten, dass es ein solches b gibt.

... je nachdem, was der Anspruch deiner Aufgabe ist.

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e^x-------->1. Ableitung e^x !

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