Explizite Zuordnungsvorschrift selbst aufstellen Mathe?

1 Antwort

Zu deiner ersten Frage: Ja, du sollst dir Zuordnungsvorschriften ausdenken.
z.B. wählst du a(n) = 1/n + 5.
1/n konvergiert gegen 0, also konvergiert a(n) gegen 5. Ersetzt du 5 durch x (irgendeine reelle Zahl), hast du eine Folge a(n) = 1/n + x, die gegen einen beliebigen Grenzwert x konvergiert.
Die Monotonie hängt hierbei vom Vorzeichen von 1/n ab. 1/n ist monoton fallend, also ist -1/n monoton wachsend - also ja, Monotonie lässt sich durch das Vorzeichen ändern. Aber aufpassen: 1/n + 5 und 1/n - 5 sind beide monoton fallend!

Zur geometrischen Folge. Die Abbildungsvorschrift solltest du kennen:
a(n) = a(1) * q^(n-1)
Was weißt du darüber? Sei a(1)>0. Wenn q=1, so ist die Folge konstant. Wenn 0<q<1, so ist die Folge monoton fallend, wenn 1<q, so ist die Folge monoton wachsend. Der Fall 0>q interessiert uns also nicht, da die Folge hier alternierend, also nicht monoton ist.
Wann konvergiert eine geometrische Folge? Wenn q^n konvergiert. q^n konvergiert, wenn 0<q<1, nämlich gegen 0.
Also wählst du a(1)>0 und 0<q<1 und erhältst eine geometrische Folge, die monoton wachsend ist und gegen 0 konvergiert.
Wenn a(1)<0, so gilt für q>0 genau das Gegenteil, also für q>1 ist die Folge monoton fallend, für 0<q<1 monoton steigend. Hier hängt die "Art" der Monotonie also vom Vorzeichen von a(1) sowie q ab!

Nimmst du die Aufgabenstellung beim Wort, so könntest du jedoch auch einfach die Folge b(n) = x nehmen. Die konvergiert gegen x und ist monoton fallend/wachsend (nicht streng monoton!).
Für die geometrische Reihe wählst du dir a(1)=x und q=1 und hast eine Folge, die gegen x konvergiert und monoton ist (wieder: nicht streng monoton!)

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