Existenz eines Potentials?

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2 Antworten

Also, sei ein Vektorfeld F: IR^3 --> IR^3 mit F(x) = (-a)*x , a aus IR\\{0}

Es fällt auf, F ist aus C^1(IR^3, IR^3) , da die jeweiligen Einträge lediglich aus Polynomen bestehen. Mit  G =  IR^3 einfach zusammenhängendes Gebiet folgt damit, dass wir hier den 2. Hauptsatz für Kurvenintegrale verwenden dürfen, welcher besagt:

rotF(G) = 0 und F aus C^1(U(G)) mit U(G) Umgebung von G ist äquvialent zu:

> F ist Gradientenfeld

Da alle Vorraussetzungen für unser Vektorfeld erfüllt sind folgt mittels stetiger Differenzierbarkeit:

rotF(x) = 0  

Hier nur mal für die erste Komponente durchgeführt:  x = (x,y,z)^T

(rotF(x))_1 = d/dy((-a)*z) - d/dz((-a)*y) = 0 

analog folgen die anderen Komponenten.


Somit besitzt F nach dem 2. Hauptsatz für Kurvenintegrale ein Vektorpotential.

Wir können also schreiben:

F(x) = grad(P(x)) = (-a)*x

Dies liefert uns ein relativ einfach zu lösendes Differentialgleichungssystem:

I)  d/dx(P(x)) = (-a)*x  ---(Integration) --> P(x) = (-a)*x²/2 + C(y,z)

mit C(y,z) aus C^1(IR^3, IR), eine in x konstante Funktion.

II) d/dy(P(x)) = (-a)*y = d/dy( (-a)*x²/2 + C(y,z))

--> (-a)*y = d/dy(C(y,z))  ---(Integration)--> C(y,z) = (-a)*y²/2 + C(z)

mit C(z) aus C^1(IR^3, IR), eine in x und y konstante Funktion.

--> P(x) = (-a)*x²/2 + (-a)*y²/2 + C(z)

III) d/dz(P(x)) = (-a)*z = .... analog zu vorherigen Schritten

Wir erhalten insgesamt:

P(x) = ((-0.5)*a)*(x^T*x )+ C   mit C aus IR beliebig


Wir überprüfen nun schließlich unser Ergebnis über Nachrechnen:

grad(P(x)) = ((-0.5)*a)* grad(x^T*x) + 0

mit grad(x^T*x) = (x/2 , y/2 , z/2)^T

--> grad(P(x)) = F(x

somit haben wir gezeigt, dass F ein Gradientenfeld ist und ein Potential besitzt, wobei wir letzteres sogar noch zusätzlich bestimmt haben.

- Anmerkung: Alle markierten Objekte sind Vektorielle Größen

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Auf deine Schule würde ich ach gerne gehen.. Da macht mn sogar Mathe! o.O

Also der Nablaoperator bezieht sich immer auf die kartesischen Koordinaten x1, x2 und x3, soweit ich weiß.

Jetzt ist es sinnvoll, den Vektor r durch diese Koordinaten auszudrücken. Da er ja als Ortsvektor eines Punktes (x1,x2,x3) zu sehen ist, kann er auch als r=(x1,x2,x3)^T geschrieben werden.

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