Existenz der irrationalen Zahlen

4 Antworten

Das ist eine interessante Frage, auch wenn die Antworten ja eindeutig darauf hingehen, dass es überhaupt nicht schwer ist, dies zu akzeptieren. Aber wie in meinen Kommentaren angedeutet ist, ist es alles andere als klar, dass solche Zahlen existieren.

Große Mathematiker der Antike kannten sie nicht. Das hat seine Gründe. Wieso sollte man sowas auch hinterfragen. Ob eine Zahl irrational ist kann ich immerhin nicht "sehen". Und das wird auch wohl das Problem sein. Denn in der Antike hat man sich nun mal gerne mit Problemen beschäftigt, deren "Richtigkeit man sehen könne" wie Euklid(?) zugesagt wird.

Abstrakte Mathematik ist ja eher eine "moderne" Erfindung. Dazu benötigt man ein gutes Axiomen System und co. Also eine Anzahl von Aussagen die man als gegeben hinnimmt. Und damit lässt sich dann arbeiten.

Die Existenz von irrationalen Zahlen zu akzeptieren ist vielleicht schon deshalb ungewohnt, weil man dazu etwas wie "Unendlichkeit" akzeptieren muss. Und dann kann man sich natürlich die Frage stellen, dass wenn eine Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, wieso soll sich das nicht irgendwann periodisch wiederholen? Muss es das nicht sogar vielleicht irgendwann mal?

Die Existenz dieser Zahlen ist jedoch bewiesen. Du kannst dir zum Beispiel einmal den Beweis ansehen, dass die Wurzel aus 2 irrational ist. Der ist für Schüler verständlich. Damit ist klar, dass es etwas anderes geben muss als rationale Zahlen.

Ein kleines Beispiel, auch wenn etwas am Thema vorbei:

Viele haben ebenfalls ein Problem damit zu akzeptieren, dass 0,9999.... also 0,"Periode" 9 das selbe ist wie 1. Das Problem ist aber vielleicht das selbe. Optisch unterscheidet sich die 0.9999999..... ja von der 1 irgendwie. Deshalb ist es vielen nicht klar, dass diese Zahlen wirklich gleich sein sollen. Ich habe mal einen Brief einer 6 Klässlerin an einen Mathematiker gelesen wo dies thematisiert wurde. Sie konnte es schlicht nicht nachvollziehen 0,999.... würde sich ja immer um 0,00000....0001 von der 1 unterscheiden. Das könne unmöglich gleich sein.

Es ist aber tatsächlich gleich. Bemerk jedoch, dass 0,99.... eine periodische Dezimalzahl ist, also nicht irrational. Es illustriert das Problem aber meiner Meinung nach.

Frage für mich ist nicht warum, sondern ob es so ist

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Die Frage ob es irrationale Zahlen gibt, also nicht periodische Dezimalzahlen, ist eindeutig Beantwortbar. Natürlich gibt es sie, dies lässt sich mathematisch korrekt beweisen. Solche Zahlen gibt es also auf jedem Planeten und in jedem möglichen parallel Universum, gleich welches Verständnis von "Zahl" vorliegt.

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@Gonti

Du verstehst meine Antwort falsch. Nicht ob es C-Zahlen gibt ist die Frage, sondern "Warum ist es schwierig die Existenz der irrationalen Zahlen zu akzeptieren?", nur dass man das Warum mit nem "ob" ersetzt.

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Wieso ist es so schwierig, wenn man es nachrechnen und beweisen kann?

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"Nachrechnen" ist so eine Sache. Wie möchtest du nachrechnen, dass sqrt(2) irrational, also nicht periodisch ist? Beweisen kann man es, aber nicht nachrechnen. Und da liegt natürlich auch das Problem. Nicht ohne Grund kannten brilliante Mathematiker sie früher nicht. Zum Beispiel die Pythagorär, wobei das eher sogenannte "Akusmathiker" waren. Diese erkannten nur das an was sich "sehen" ließ. Zwar kann man irrationale Zahlen konstruieren, aber ich kann durch bloßes hinsehen nicht entscheiden ob eine Strecke nun rational oder irrational ist. Der Legende nach hat Pythagoras sogar einen seiner Schüler über Bord geworfen, als er seine Vermutung bezüglich dieser "ominösen" Zahlen unterbreitete.

Für uns ist es natürlich klar, aber durch Logik erschließt es sich nicht so leicht. Sonst hätte man sie früher gekannt.

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@Gonti

Wir können uns höherdimensionale Objekte wie Tesserakte auch nicht wirklich vorstellen, aber unsere Logik hilft uns da auch weiter.

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@Gutafragerakete

Die Frage ist wohl eher so zu verstehen, dass man die Existenz solcher Zahlen intuitiv begründen kann. So gibt es in der Mathematik eben auch Aussagen, welche höchst dubios sind, aber durch dem zugrundeliegendem Axiomensystem nun mal "logisch" ist. Also so gut wie alles was sich nur mit Hilfe des Auswahlaxioms zeigen lässt.

Wie Weit musste die Mathematik sein um Objekte wie den Tesserakt zu akzeptieren/betrachten?

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@Gonti

Tesserakte gab ich nur als Beispiel an, da du sehr schön erwähntest, dass es Leute gab, die nur erkannten, was sie auch sehen. Wir sind relativ blind, wir nehmen als Beispiel keine Gammastrahlung wahr. Wir können nur durch Konstruktion von Geräten auf solche Wahrnehmungsspektren zugreifen. Die Stringtheorie, welche höchst fragwürdig ist, basiert auf ca. 20 Dimensionen.

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