E(x)= 2x^2 + 200x - kann ich da den Scheitelpunkt berechnen?

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4 Antworten

Prinzipiell wäre hier die quadratische Ergänzung möglich, es gibt jedoch eine einfachere Lösung: Der Scheitelpunkt liegt immer genau zwischen den beiden Nullstellen (vorausgesetzt, es gibt zwei Nullstellen), das heißt, wie können mit den zwei Nullstellen und der Funktionsgleichung die genauen Koordinaten des Scheitelpunkts errechnen.

Die Nullstellen kann man hier nämlich ganz einfach durch Ausklammern bestimmen:

E(x) = 2x² + 200x = 2x(x + 100)

Mit dem Satz des Nullprodukts kommen wir auf die beiden Nullstellen x = 0 und x = -100, das heißt, der Scheitelpunkt liegt bei x = -50.

Für den y-Wert setzen wir x = -50 einfach in die Funktionsgleichung ein:

f(-50) = 2*(-50)² + 200*(-50) = 5000 - 10000 = -5000

Der Scheitelpunkt liegt dementsprechend bei (-50 | -5000).

Wie gesagt, die quadratische Ergänzung funktioniert alternativ auch.

Man kann von jeder quadratischen Funktion den Scheitelpunkt berechnen!

Entweder, indem Du über die Ableitung den Extrempunkt berechnest, oder mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die angegebene Normalform in die Scheitelpunktform umwandelst...

(Oder: Hat die Funktion zwei Nullstellen, dann liegt der Scheitelpunkt genau in der Mitte davon; hat sie eine Nullstelle, dann ist dies der Scheitelpunkt)

Das kannst du verallgemeinern -->

y = E(x) = a * x ^ 2 + b * x + c = a * (x - u) ^ 2 + v

u und v lassen sich aus a und b und c berechnen -->

u = -b / (2 * a)

v = (4 * a * c - b ^ 2) / (4 * a)

Der Scheitelpunkt liegt dann bei (u | v)

Der Scheitelpunkt der Parabel ist gleichzeitig auch der Extremwertpunkt.

Ist a > 0, dann ist die Parabel nach oben geöffnet, und der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt (Minimum).

Ist a < 0, dann ist die Parabel nach unten geöffnet, und der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt (Maximum).

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Angewendet auf dein Beispiel -->

y = E(x) = a * x ^ 2 + b * x + c

y = E(x) = 2 * x ^ 2 + 200 * x + 0

a = 2 und b = 200 und c = 0

u = -b / (2 * a) also u = - 200 / (2 * 2) = -50

v = (4 * a * c - b ^ 2) / (4 * a) also v = (4 * 2 * 0 - 200 ^ 2) / (4 * 2) = -5000

Deshalb gilt -->

y = E(x) = 2 * x ^ 2 + 200 * x = 2 * (x - (-50)) ^ 2 + (-5000)

y = E(x) = 2 * x ^ 2 + 200 * x = 2 * (x + 50) ^ 2 - 5000

Der Scheitelpunkt liegt bei (-50 | -5000)

Weil a > 0 ist, deshalb handelt es sich um einen Tiefpunkt (Minimum).

E(x) = 2x² +200x

quadratische Ergänzung

E(x) = 2*(x² + 100x +50)²  -2*50²

E(x) = 2*(x -50-5000

S (50/ -5000)

 

Bonus Nullstellen:

2x² +200x = 0

2*x*(x +100) = 0

x1 = 0

x2 = 100

Passt, weil aus Symmetriegründen der Scheitel in der Mitte liegt

PeterSchmitt2 28.02.2017, 16:39

Der Scheitelpunkt ist schon mal falsch und die Nullstelle auch!

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Willibergi 28.02.2017, 16:40

E(x) = 2*(x² + 100x +50)²  -2*50²

E(x) = 2*(x -50)² -5000

Du - ich hab noch ein bisschen Kaffee da, wenn du auch brauchst. ;-)

E(x) = 2*(x² + 100x +50)²  -2*50²

E(x) = 2*(x + 50)² - 5000

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HCS41 28.02.2017, 16:49
@Willibergi

Oh. Hatte aber erst einen Kaffee, aber mit Milch. Vielleicht ist deshalb mein Blick trotz Kaffee noch getrübt

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