eulersche Zahl, wie genau was genau?

... komplette Frage anzeigen

4 Antworten

Man "stößt" auf die Eulersche Zahl, oder hier besser, ihre Definition lim_n->∞ (1 + 1/n)^n (siehe Willibergi) wenn man von einer Funktion der Form f(x) = a^x verlangt, dass sie ihre eigene Ableitung ist, also f'(x)=f(x)

Dafür betrachtet man den Differenzenquotienten als Ableitung.

f'(x) = lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/(h)

Mit ein bisschen Rumrechnerei landet man dann bei a = lim_h->0 (1+h)^(1/h) was äquivlent zu der obigen Definiton ist.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Ich erkläre mir das immer über Reihenentwicklungen. Sicher weißt Du, daß man viele Funktionen als (unendliche) Reihen darstellen kann. Viele Funktionen (auch Exponentialfunktionen) sind gerade so definiert und werden auch oft so berechnet.

e^x kannst Du als folende unendliche Reihe darstellen:

1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ....

Wenn Du die Funktion e^x im Computer oder Taschenrechner berechnest verwenden einige Rechnungsalgorithmen genau diese Summe.

Laß uns jetzt mal überlegen wie man eine Exponentialfunktion mit einer anderen Basis b > 0 berechnen kann, also b^x. Nach Potenz- und Logarithmusgesetzen gilt:

b^x = ( e^ln(b) )^x =  e^( x * ln(b) )

Wenn Du das als Reihe entwickelst, weil Du den Funktionswert berechnen willst erhältst Du:

1 + (x*ln(b))/1! + (x*ln(b))^2/2! + (x*ln(b))^3/3! + (x*ln(b))^4/4! + ....


Du siehst also, daß die Wahl von e als Basis eine sehr "natürliche" Wahl ist, weil sie die einfachste Reihenentwicklung ermöglicht, auf der auch die Reihenentwicklungen aller anderen Exponentialfunktionen  basieren. 

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von hypergerd
03.06.2016, 16:38

Könnte fast von mir sein ... :-)

Zugaben:

- Taschenrechner rechnen nur mit Näherungsformeln (oft nicht mal 9 richtige Nachkommastellen); will man es genauer, kommt man nicht an die Reihen oder hypergeometrische Funktionen vorbei

- viele denken beim Potenzieren immer an "x mal mit sich selbst multiplizieren" aber das ist nur Sonderfall für ganze positive Werte. 

Die universelle Exponentialfunktion ist e^(ln(b) * x)

Deshalb hat sie auch bei den meisten Programmiersprachen die Bezeichnung: exp-Funktion: 

e^x = exp(x)

0.1234^5.6789 kann man nur mit 

e^(ln(0.1234)*5.6789) {oder hypergeometrischen Funktionen} genau bestimmen

6.91304940133022074519079081910818432158973630...*10^-6

Wenn man noch tiefer in die Mathematik hineintaucht, kann man sich vor e (Registrierte Konstante A001113 )
kaum retten: taucht in zig Summen, Produkten, Iterationen, Grenzwerten ... auf:

http://www.gerdlamprecht.de/Eulersche_Zahl_A001113.html

1

Alle Exponentialfunktionen lassen sich ineinander umrechnen.
z.B. so
a^b = c^(b * (log a / log c))

Der Grund, warum Mathematiker die Exponentialfunktionen mit der Euler'schen Zahl bevorzugen ist, weil sie besondere Eigenschaften hat, auf die andere unten schon eingegangen sind, außerdem ist sie für einen Computer leichter zu berechnen.

Macht aber nix, denn es gilt

x ^ y  =  e ^ (y * ln x)

Für Wachstumsfunktionen braucht man alle möglichen Potenzfunktionen. Wichtiger als die Zahl e ist in diesem Fall glaube ich die Potenz- und Logarithmenregeln zu kennen.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Die Eulersche Zahl ist folgendermaßen definiert:

lim_n->∞ (1 + 1/n)^n

Der Grenzwert dessen ist e (2,71828...).

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. M
LG Willibergi

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?