Es gibt genau so viele rationale Woe ganze Zahlen?!

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9 Antworten

Bei endlichen Mengen gilt der Satz, dass eine Menge nicht einer echten Obermenge gleichmächtig sein kann. Gleichmächtig sind zwei Mengen, wenn es eine eineindeutige Abbildung zwischen zwei Mengen gibt. Bei unendlichen Mengen gilt dieser Satz jedoch nicht. Eine Menge kann durchaus einer echten Obermenge gleich mächtig sein. Ein Beispiel sind eben die ganzen und die rationalen Zahlen. Dass diese gleichmächtig sind, kann man mit dem bekannten Cantorschen Diagonalverfahren beweisen. Dazu ordent man die rationalen Zahlen in Form eines unendlchen Rechtecks an:

1; -1; 1/2; -1/2; 1/3; -1/3; 1/4; -1/4; ......

2/1; -2/1; 2/2; -2/2; 2/3; -2/3; 2/4; -2/4; .....

3/1; -3/1; 3/2; -3/2; 3/3; -3/3; 3/4; -3/4; .....

usw.

Jetzt zieht man Diagonalen vom i-ten Element der 1 Reihe zum 1. Element der i-ten Reihe und läuft diese nacheinander ab und numeriert die passierten Elemente durch, wobei man die wegläßt, die schon vorgekommen sind (also z.B. 2/2 = 1/ 1 läßt man weg, da es schon vorgekommen ist). Damit werden alle rationalen Zahlen erfasst und man hat eine eineindeutige Zuordnung vorgenommen.

Übrigens ist das noch viel einfacher bei den Natürlichen und Ganzen Zahlen, die selbstverständlich ebenfalls gleich mächtig sind. Und bereits dies entspricht nicht der Intuition. Der Beweis der Gleichmächtigkeit ist hier aber noch noch einfacher: Man ordnet die Zahlen folgendermassen zu: 0-->1; 1-->2; -1-->3; 2-->4; -2-->5; usw.

Beim Diagonal-Verfahren habe ich die 0 vergessen. Die 0 ordnet man der 1 zu und beginnt in der linken oberen Ecke mit der 2.

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es ist erstaunlich wieviele nutzlose und falsche antworten hier auftauchen.

selbst leute die das "hilbert-hotel" kennen und begriffe wie "abzählbar" kennen machen derartig böse fehler....

es gibt (bisher) nur 2 arten von unendlichkeiten.

abzählbare und überabzählbare.

nun ein gedankenexperiment:

eine menge A hat die elemente {1,2,3}, eine menge B die elemente {kuchen,spielplatz,hundehaufen}

aus jedem element der menge A kann ich ein element aus B nennen (und umgekehrt auch). damit sind die beiden mengen gleichmächtig. beispiel: "du sagst 1" "ich sag hundehaufen" "du sagst 3" "ich sag spielplatz" "du sagst 2" "ich sag kuchen"

dabei ist wie im beispiel angedeutet völlig egal um was es sich handelt. also ist es auch egal, ob es sich um ganze zahlen oder rationale zahlen handelt.

neues beispiel:

A={1,2,3} B={1/2,42} auch hier ist egal um was es sich handelt, A ist "mächtiger" (hat mehr elemente) als B, da ich in B nur mit 2 zahlen auf deine vorgegebenen zahlen aus A zur verfügung habe.

bei endlich großen mengen gilt offensichtlich: kann ich auf jede zahl aus deiner menge der ganzen zahlen eine rationale zahl nennen, so bin ich mindestens so mächtig wie du(kannst du ebenso wenn ich anfange auf meine zahlen "antworten", denn sind wir gleichmächtig). kannst du allerdings eine zahl nennen, auf die ich nicht antworten kann, so bist du mächtiger als ich.

das problem liegt nun in der unendlichkeit:

in jedem (wohldefiniertem) intervall aus den rationalen zahlen sind unendlich viele zahlen enthalten. (wohldefiniert meint hier: es ist wirklich ein intervall und nicht nur ein punkt, also die grenzen des intervalls sind verschieden)

beispielsweise in [1/3 ; 1/4] sind unendlich viele zahlen drin. bei den ganzen zahlen wäre in demselben intervall keine ganze zahl. nun betrachten wir aber nicht nur teilmengen, sondern die ganzen zahlenmengen. das ist der grund, warum es tatsächlich gleich viele ganze zahlen gibt wie rationale zahlen.

erst wenn ich ALLE ganzen zahlen angucke habe ich unendlich viele. wenn ich aus den rationalen zahlen nur die teilmenge der ganzen zahlen nehme weiß ich sofort, dass die mächtigkeit der rationalenzahlen größer oder gleich (im endlichen sogar echt größer, aber hier eben auch evtl nur "größer/gleich") ist als die mächtigkeit der teilmenge der ganzen zahlen. diese teilmenge ist aber bereits unendlich-mächtig.

nun wissen wir, dass unser spiel nie enden wird, da ich einen unendlichen (d.h. es endet nie) vorrat an zahlen habe, den ich deinen entgegen setzen kann. ebenso gilt das umgekehrt. unsere mächtigkeiten sind beide unendlich.

in diesem fall sind wir abzählbar unendlich, aber auch überabzählbar unendliche mengen sind von der mächtigkeit unendlich. die zusätzliche unterscheidung in abzählbar und überabzählbar ändert daran nichts. dennoch sind überabzählbar viele irgendwie mehr als abzählbar viele.

nun müssen wir den gedanken hinter unserem spiel abstrakter fassen:

2 mengen sind gleich genau dann wenn es eine bijektion zwischen den elementen der mengen gibt. bijektion bedeutet genau das, was ich beschrieben habe. auf jede zahl antworte ich mit einer anderen zahl, ebenso könntest du auf jede meiner zahlen antworten. dabei ist es natürlich wichtig jede zahl nur einmal zu benutzen (versteht sich ja von selbst).

nun gibt es tatsächlich eine solche bijektion, sodass man zwar nicht mehr in endlicher zeit mit dem spiel fertig wird (da die mächtigkeiten unendlich sind), aber dennoch ein volständiges programm angeben kann, welche zahl auf welche andere geantwortet werden muss, sodass keiner eine zahl mehr als der andere hat.

zwischen den irrationalen zahlen und den ganzen zahlen gibt es so eine bijektion nicht mehr. auch hier endet das spiel niemals (nicht in endlicher zeit), beide mächtigkeiten sind unendlich, aber es gibt keinen weg, wie man mit allen ganzen zahlen auch jeder irrationelen zahl ein element zuordnet.

um das verstehen zu können sollte man wohl ein bisschen mit einem beispiel, bei dem es um unendlich geht rechnen und in die unerwarteten fehler fallen. im unendlichen ist nichts so einfach wie es scheint.

ich mache hier ein beispiel:

rechne folgendes aus:

1-1+1-1+1-1+1-1+1-1 = 0+0+0+0+0 oder auch 1+1+1+1+1 -1-1-1-1-1 (sortiert)

es gelten ja kommutativgesetz und assoziativgesetz.

was ich beim ersten rechnen gemacht habe: ich hab jeweils paare von zahlen gebildet:

(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1) (eine eselsbrücke für die, die nicht wissen was assoziativgesetz ist: ich assoziiere alle "+1" mit je einer "-1" und rechne diese zuerst aus, also setz ich sie in klammern, aber ich hätte auch anders assoziieren können)

ich hätte das assoziativ gesetz auch so anwenden können:

1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)-1

man beachte das vorzeichen-ändern aufgrund der regeln für "minusklammern". ich habe hier dasselbe gemacht, aber die erste und letzte zahl ignoriert, dazwischen wieder paare gebildet. hier würde rauskommen 1 + 0 + 0 + 0 + 0 -1 = 1 - 1 = 0

nun zum kommutativgesetz:

hier habe ich nach positiven und negativen zahlen sortiert.

also 1+1+1+1+1 zusammengeschoben (-1er auch) mittels kommutativgesetz. (summanden vertauschen)

hier kommt dann nach zusammenfassen auf 5 - 5 = 0

nun mache ich dasselbe für unendlich viele zahlen, also 1-1+1-1+1-1......usw

methode 1: ergebnis: 0+0+0+0+0....... = 0

methode 1 anders: 1 +0+0+0+0+0+0+0...... (die -1 fehlt, weil -1 die letzte zahl war, also erst nach unendlich vielen 0ern kommt, also nie mehr) = 1

methode 2: 1+1+1+1+1+1+1+1 (unendlich viele 1er.. es kömen dann wohl auch unendlich viele -1er, aber es ist dann trotzdem nicht unendlich - unendlich = 0 (das ist ganz arg böse), sondern wie zuvor kommen die restlichen zahlen nie mehr zum zuge...) = unendlich

ich hoffe dir ist klar geworden dass im unendlichen die normalen regeln nicht mehr gelten.

daher ist es zwar un-intuitiv, dass es gleich viele ganze zahlen wie rationale gibt, aber dem ist nunmal so.

es ist definiert: (sofern man auch zwischen abzählbar und überabzählbar unterscheidet) eine menge hat dieselbe mächtigkeit wie N (natürliche zahlen), wenn es eine bijektion zwischen ihr und N gibt.

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Die Anzahl von ganzen Zahlen ist doch offensichtlich unendlich. Es gibt auch unendlich viele rationale Zahlen. Es gibt auch unendlich viele irrationale Zahlen.

Da stellt sich doch die Frage, ob ein Vergleich der Anzahlen unendlich vieler Elemente überhaupt Sinn macht.

Daher hatte jemand die Idee, unendliche Mengen mittels Abbildungen zu vergleichen:

Kann man jedem Element einer Menge ein Element einer anderen Menge zuordnen, ohne, dass welche übrig bleiben, sind die Mengen gleich groß.

Genau dies trifft auf ganze Zahlen, natürliche Zahlen und rationale Zahlen zu:

Am einfachsten kann man es wohl bei den beiden Mengen N und Z, also natürliche und ganze Zahlen erklären. Intuitiv würde man sagen es gibt doppelt so viele ganze Zahlen, wie natürliche, weil ja zur 1 noch die -1 dazukommt, zur 2 die -2 usw.

ABER, man kann jeder ganzen Zahl eine natürliche Zahl zuordnen und umgekehrt, zum Beispiel so:

1 → 1

2 → -1

3 → 2

4 → -2

...

Daran sieht man: Es gibt genauso viele ganze, wie natürliche Zahlen. Ähnlich funktioniert das mit ganzen und rationalen Zahlen, dazu gibt es das Cantorsche Diagonalverfahren: Kuckst du hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument

Ich hoffe, ich konnte ein wenig zur Klärung beitragen.

Viele Grüße

Es gibt von beiden unendlich viele, aber da die Menge der rationalen Zahlen die Menge der ganzen Zahlen mit einschließt und beide Mengen theoretisch abzählbar sind, würde ich sagen, es gibt mehr rationale Zahlen.

Das ist eine theoretische Frage. Da es prinzipiell unendlich viele Zahlen gibt, wird es von beiden auch unendlich viele geben.

Es gibt mehr Rationale Zahlen als Ganze Zahlen.

Anzahl der Ganzen Zahlen ist ∞, allerdings lassen sich zwischen jede zwei beliebige Ganze Zahlen der Menge Z noch ∞ viele Rationale Zahlen aus Q dazwischen packen, daher ist die Mächtigkeit der Rationalen Zahlen größer, oder salopp gesagt: Es gibt unedlich mal so viele Rationale wie natürliche Zahlen.

Theoretisch ja, praktisch sind alle Zahlen unendlich. :) Denke ich zumindest.

Im Prinzip hast du recht, aber, beide Mengen sind unendlich. Aber Unendlichkeit passt nicht in so ein kleingeistiges Hirn wie das eines Menschen.[Nicht persönlich gemeint.]

lg

Das Problem mit dem guten alten Hilbert Hotel konnte man ja auch erklären.

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