es geht um eine nullfolge ....

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2 Antworten

A. √ (n -100) ist für n → ∞ bestimmt divergent und geht gegen +∞.

Beweis: Sei bel. c > 1 vorgeben. Dann gilt für alle n > c² + 100, dass √ (n -100) > c, q.e.d.


B. Grenzwert-Untersuchung für √ (n +100) - √ n gemäß der Definition des Grenzwertes nach Weierstraß. Eine Umformung ist nicht erforderlich, fiele mir aber auch nicht ein.

Sei ein bel. ε' > 0 vorgeben. Wähle ein ε, dass sowohl kleiner ist als ε' (1) als auch kleiner als 10 (so dass 50 - ε²/2 > 0 ist; 2).

Wähle eine Zahl n, die größer ist ist als die größere der beiden Zahlen (50 - ε²/2)² und 1 (3). Dann folgt:

(50 - ε²/2)² < n ; | √, mit (3) und (2) folgt:

0 < 50 - ε²/2 < √ n ; | * 2 > 0

100 - ε² < + 2√ n

100 < ε² + 2√ n ; | +n

1 < n +100 < ε² + 2√ n +n = (ε + √ n )² ; | √

√ (n +100) < ε + √ n

0 < √ (n +100) - √ n < ε →

lim √ (n +100) - √ n = 0 für n → ∞

(Die Zeilen habe ich natürlich "von unten nach oben" erstellt.)

psychironiker 04.09.2013, 07:53

Die vorletzte Zeile müsste vollständig heißen:

0 < √ (n +100) - √ n < ε < ε ' (was auch hinhaut),

denn zur Existenz des Grenzwerts " 0 " war zu zeigen, dass

für beliebig vorgegebenes ε ' > 0

der untersuchte Term √ (n +100) - √ n in eine ε ' -Umgebung von 0 liegt.

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Sie geht doch nicht gegen 0.

Gutefragediggah 03.09.2013, 20:39

ok aber woher will ich denn wissen ob sie gegen 0 geht ?? :O

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iokii 03.09.2013, 20:43
@Gutefragediggah

Für n->unendlich geht n-100 gegen unendlich, die Wurzel davon folglich auch.

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Gutefragediggah 03.09.2013, 20:48
@iokii

hast du vielleicht auch eine Ahnung wie man

(√n+100 - √n)

erst umformt dann den Grenzwert bestimmt ?

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