Es existiert ein x in [0, 1], sodass f(x) = x?
Hallo liebe Community,
wie zeigt man das Beispiel 60? Ich habe leider keine Idee.
60.
4 Antworten
Ich würde als Beweis hier einfach den Banchschen Fixpunktsatz nennen.
Denn D = [0, 1] ist abgeschlossen
f bildet von D nach D ab (Selbstabbildung)
f muss zwar nicht auf D eine Kontraktion sein, du kannst aber eine abgeschlossene Untermenge von D finden, auf der f eine Kontraktion (und immer noch eine Selbstabbildung) ist, sodass du darauf den Banachschen Fixpunktsatz anwenden kannst und entsprechend einen (sogar eindeutigen) Fixpunkt findest.
Hast du die Aufgabe richtig gelesen?
Oder was meinst du genau?
f muss zwar nicht auf D eine Kontraktion sein, du kannst aber eine abgeschlossene Untermenge von D finden, auf der f eine Kontraktion (und immer noch eine Selbstabbildung) ist,
Ich habe dir dazu ein Gegenbeispiel gegeben, die Identität auf [0,1]
Du schreibst in deiner Aufgabe
f muss zwar nicht auf D eine Kontraktion sein, du kannst aber eine abgeschlossene Untermenge von D finden, auf der f eine Kontraktion (und immer noch eine Selbstabbildung) ist
Was falsch ist, da f(x)=x keine Kontraktion ist (und keine Teilmenge hat, worauf f eine Kontraktion ist).
Somit ist der BFPS nicht anwendbar.
Wenn f(x) = x ist, ist es doch trivial, dass ein x existiert, sodass f(x) = x. Den Fall meine ich logischerweise nicht.
Dann musst du trotzdem einen Beweis liefern, dass die Aussage
f muss zwar nicht auf D eine Kontraktion sein, du kannst aber eine abgeschlossene Untermenge von D finden, auf der f eine Kontraktion (und immer noch eine Selbstabbildung)
Wahr ist, da es eben ein Gegenbeispiel gibt welches nicht erfüllt.
Okay, du hast es editiert. Den Beweis für die Aussage kann der Fragesteller selber machen, der ist nicht schwer.
Kann er eben nicht, da die Aussage falsch ist.
f(x) = 1.6x+0.1 wenn 0<=x <= 0.5 , = 0.9 wenn 0.5<x<=1
Ist zum Beispiel auch nirgends eine Kontraktion.
Die Funktion ist im zweiten Teil eine Kontraktion, wir können L = 0 wählen.
Zeige, dass für dieses Supremum f(x) = x gilt.
Wenn f(x) < x, dann wäre auch für alle y mit f(x) < y < x die Ungleichung f(y) < y erfüllt.
Wenn f(x) > x, dann wäre auch für alle y mit f(x) > y > x die Ungleichung f(y) > y erfüllt.
Vergleiche mit der Definition des Supremums.
Benutze den Hinweis:
Sei y der im Hinweis genannte Punkt (Begründe aber zuerst, dass die Menge des Supremums nicht leer sein kann. Tipp: ist 0 in der Menge enthalten?).
Nimm an, dass y kein Fixpunkt ist (was muss also dann für f(y) gelten?)
Versuche nun rauszufinden, welches Relationszeichen in das Fragezeichen gehört (Tipp: welche Eigenschaft hat f?):
f(y) ? f(f(y))
Folgere daraus einen Widerspruch, woraus du folgern kannst, dass f(y)=y gelten MUSS
Der Tipp ist hilfreich.
Der stetige Fall ist klar (Zwischenwertsatz auf f-X )
Wenn man sich vorstellt wie eine tyische unstetige Funktion unter und überspringt X anschaut ist es naheliegend sich den letzten Sprung anschaut
Ist der Punkt z=1 so ist f(1)=1
Ist z<1 .... Skizze hilft ...
f(x) = x ist keine Kontraktion, auch nicht lokal