Erwartungswert/standardabweichung/Bernoulliformel?

3 Antworten

Hallo,

den Erwartungswert hast Du richtig berechnet.

Bei 45maligem Würfeln kann man im Schnitt 7,5 Sechsen erwarten.

Natürlich kannst Du keine Bruchzahl an Sechsen werfen, aber Du kannst davon ausgehen, daß Du bei 2*45maligem, also bei 90maligem Würfeln 

2*7,5=15 Sechsen dabei hast.

Das heißt: Du kannst nicht wirklich davon ausgehen.

Dieser Wert von 7,5 Sechsen bei 45 Würfen wird sich als Durchschnittswert einpendeln, wenn Du ganz viele 45er Serien wirfst.

Es kann also sein, daß Du bei einer Serie mal 20 Sechsen dabei hast, bei einer anderen nur 10 oder irgendetwas dazwischen oder mehr oder weniger.

Du solltest also nicht 1000 Euro darauf setzen, daß Du in den nächsten 90 Würfen 15 mal eine Sechs würfelst.

Die Frage ist nun: Wie wahrscheinlich ist es, daß das tatsächliche Ergebnis um einen bestimmten Wert vom erwarteten abweicht?

Dazu dient die Standardabweichung, die sich hier nach der Formel

Wurzel aus (n*p*(1-p)), also Wurzel aus (45*(1/6)*(5/6))=2,5 berechnet.

Es gibt Erfahrungswerte, wieviel Prozent aller Werte um k Standardabweichungen vom Erwartungswert abweichen, die Du in einer Tabelle für die Gaußsche Summenfunktion findest bzw. in einer Tabelle für die sigma-Umgebung.

Innerhalb einer Zone von Erwartungswert minus eine Standardabweichung bis Erwartungswert plus eine Standardabweichung etwa liegen 68,26 % aller Werte.

In einer Tabelle für die Gaußsche Summenfunktion Phi (x) findest Du unter 

x=1,0 den Wert 0,8413.

Das bedeutet: Von minus unendlich bis Erwartungswert plus 1,0 Standardabweichungen wirst Du 84,13 % aller Werte finden.

Nur etwa 16 % aller Werte liegen darüber.

Wenn Du einen symmetrischen Bereich um den Erwartungswert berechnen möchtest, also nicht von minus unendlich bis Erwartungswert plus eine Standardabweichung, sondern von Erwartungswert minus eine Standardabweichung bis Erwartungswert plus eine Standardabweichung, rechnest Du 2*0,8413-1=0,6826=68,26 %.

Hier entspricht eine Standardabweichung 2,5 Sechsen.

Du kannst demnach in 68,26 % aller Wurfserien erwarten, daß die Anzahl der Sechsen pro Serie zwischen 5 und 10 liegt (7,5-2,5 bis 7,5+2,5).

Natürlich kannst Du so auch die Wahrscheinlichkeit jeder anderen Umgebung um den Erwartungswert herum berechnen.

In einer Umgebung von ±2 Standardabweichungen liegen

2*0,9772-1=95,44 % aller Werte, bei ±3 sigma sind es

2*0,9987-1=99,74%.

Diese Prozentzahlen nennt man auch Konfidenzintervall.

Wenn man etwa nachweisen möchte, daß ein Würfel manipuliert wurde,

bestimmt man ein solches Intervall (etwa 95 % um den Erwartungswert herum, was 1,96 Standardabweichungen entspricht) und sagt: Wenn die Ergebnisse außerhalb dieses Intervalls liegen - im konkreten Fall

also 7,5±1,96*2,5=7,5±4,9, wenn also weniger als 2,5 oder mehr als 12,4 Sechsen würfelst (0;1;2 oder mehr als 12) gehst Du mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % davon aus, daß hier etwas nicht stimmt, denn die Wahrscheinlichkeit, daß es sich um einen bloßen Zufall handelt, liegt bei 5 %.

Natürlich würde man in so einem Fall viele 45er Serien werfen, um den Zufall so weit wie möglich auszuschließen, bevor ein Spieler des Falschspiels bezichtigt wird.

Auch wissenschaftliche Experimente werden so von zufälligen Ausreißern bereinigt.

Herzliche Grüße,

Willy

Ist das in Deiner Antwort die Musterlösung, oder von Dir eingesetzt?

Der Erwartungswert ist zwar der Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeit, aber diese Wahrscheinlichkeit ist falsch angegeben!
Die Wahrscheinlichkeit, bei 45 Würfen GENAU 7-mal die 6 zu würfeln, beträgt 0,1588=15,88% und GENAU 8-mal ergibt 0,1508=15,08%. Alle anderen Wahrscheinlichkeiten, also z. B. nur 6-mal eine 6 oder 9-mal eine 6 zu würfeln, liegen darunter.

0,67=67% ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit dafür, dass MAXIMAL 8 Sechsen gewürfelt werden!

Das verwirrt mich jetzt ..

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Ja das ist die Musterlösung, aber es kam auch schon vor, dass die Musterlösungen falsch war...

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Könnten Sie mir das vielleicht nochmal erklären, was genau Sie damit meinen, dass die Wahrscheiblichkeit falsch angegeben ist ?

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Ich habe es nochmal in den GTR eingegeben und es kommen 15% raus. Dann sind die Lösungen wohl falsch oder ?

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Ich weiß nicht ob Sie den gleichen Taschenrechner besitzen. Jedenfalls bekomme ich mit BinomialCD (8, 45,1/6) auf 67% so wie in der Musterlösungen. Das zeigt ja dann die Wahrscheiblichkeit für maximal 8 mal die „6“ zuwürfeln.

Wenn ich BiinomialPD(8,45,1/6) eingebe kommt 15% raus und das zeigt mir ja wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist GENAU 8 mal die „6“ zuwürfeln.

Aber wonach ist denn jetzt genau gefragt. Ich denke, dass ich den Sachzusammenhang nicht ganz verstehe..

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@iloveluzy

In der Frage ist keine Wahrscheinlichkeit gefragt. Die Lösung "versucht" die einzelnen Begriffe zu erklären.

Zitat: "Der Erwartungswert (er-)gibt den Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeit an". Die 67% sind dann aber falsch angegeben; wie ich auch schon geschrieben habe. Die 67% ist die Wahrscheinlichkeit von Null-mal bis zum Erwartungswert, also die Funktion BinomialCD Deines Rechners; richtig wäre in der Erklärung aber die 15% anzugeben, also BinomialPD, denn das ist die Wahrscheinlichkeit "erwartungswert-mal" die 6 zu würfeln.

Bzgl. der Aufgabe sollst Du aber eigentlich nur Erwartungswert und Standardabweichung ausrechnen.

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