Erlösfunktion Herleiten mit Grafik?

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6 Antworten

Du siehst, dass im Schaubild eine quadratische Funktion der Form ax² + bx + c mit einem Maximum abgebildet ist.

Außerdem weißt du, dass der Scheitelpunkt (Extremum) bei (5 | 5) liegt und dass die Nullstellen bei x = 0 und x = 10 liegen.

Jetzt kannst du die Funktionsgleichung auf mehrere Arten lösen:

(1) Eine einfache Lösung ist, die Nullstellenform a(x - x₁)(x - x₂) aufzustellen und auszumultiplizieren:

f(x) = a(x - 0)(x - 10) = ax(x - 10) = ax² - 10ax

a auszuklammern ist optional:

f(x) = a(x² - 10x)

Du hast den Scheitelpunkt (5 | 5) der Form (x | f(x)) gegeben, den du nun in die  Funktionsgleichung einsetzen kannst, um a zu bestimmen:

5 = a(5² - 10*5)

   = 25a - 50a

   = -25a             |:-25

a = 5/-25 = -1/5 = -0,2

Also ist deine Funktionsgleichung folgende:

f(x) = -0,2(x - 0)(x - 10) = -0,2x(x - 10) = -0,2x² + 2x

(2) Eine andere Herangehensweise ist, ein lineares Gleichungssystem mit den drei gegebenen Punkten aufzustellen:

A(0 | 0), B(5 | 5) , C(10 | 0)

f(x) = ax² + bx + c

Nun die Punkte einsetzen:

0 = a*0² + b*0 + c → c = 0

5 = a*5² + b*5 + c → 5 = 25a + 5b + c

0 = a*10² + b*10 + c → 0 = 100a + 10b + c

Also:

I.   c = 0
II.  5 = 25a + 5b + c
III. 0 = 100a + 10b + c

(Hier könnte auch die allgemeine Form zu f'(x) = 2ax + b abgeleitet, und daraus die Gleichung 0 = 10a + b gebildet werden, da die Extremstelle bekannt ist → f'(x) = 0, x = 5)

I in II: II'. 5 = 25a + 5b

I in III: III'. 0 = 100a + 10b

II*(-2)÷: II''. -10 = -50a - 10b

Additionsverfahren: III' + II''

0 + (-10) = 100a + 10b + (-50a - 10b)

0 + (-10) = 100a + 10b + (-50a - 10b)
-10 = 100a + 10b - 50a - 10b
-10 = 100a - 50a + 10b - 10b
-10 = 50a           |:50
a = -10/50 = -1/5 = -0,2

a in III': 0 = 100*0,2 + 10b → b = 2

IL = {0,2 | 2 | 0)

f(x) = 0,2x² + 2x + 0 = 0,2x² + 2x

Welches Verfahren du anwendest, liegt bei dir. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

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Halt dich mal an die Hilfe, die dir in der Aufgabe gegeben wird. Sie erspart dir die Umständlichkeit, außer mit a auch noch mit b und c zu rechnen.

Zunächst nimmst du die vermutlich längst vergessene Scheitelpunktform.
Du findest sie in der Formelsammlung.
    y = a(x - x₀)² + y₀         mit den Koordinaten des Scheitelpunkts (x₀=5|y₀=5).
Ⅰ y = a(x - 5)² + 5           Das ist nämlich schon deine gesuchte Parabel.
                                    

Jetzt vertauschst du mal die Seiten und setzt den Punkt (0|0) in diese Gleichung ein:

a (-5)² + 5 = 0
25 a    + 5 = 0    | -5    
      25 a    = -5
           a    = -1/5

Jetzt nehmen wir die Gleichung Ⅰ von oben und setzen ein:

y = - 1/5 (x - 5)² + 5                 | Binom auflösen
y = - 1/5 (x² - 10x + 25) + 5     | ausmultiplizieren
y = - 1/5 x² + 2x - 5     + 5
y = - 1/5 x² + 2x             Jetzt ist das die Parabel in der allgemeinen Form.

Und du siehst, wenn du nach oben guckst, was das für eine große Hilfe war.

Da es die Erlösformel sein sollte, kann man sie auch so schreiben:
E(x) = -1/5x² + 2x

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Man sieht, dass der "Bogen" eine Parabel ist, also eine "quadratische Funktion".

allgemeine Form:
y= a*x² + b*x + c

Setze die gegebene Punkte ein und löse das Gleichungsystem.

(Aus E(0) = 0 folgt beispielsweise: 0 = a*0² + b*0 + c -> c= 0 )

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Es gäbe eine einfachere Methode, da du die Nullstellen (0 und 10) kennst:

Mache folgenden Ansatz:
f(x) = a (x - 0)(x-10) = a*x² - 10*a*x

Der Faktor a steht deshalb da, weil die Parabel ja bei gleichen Nullstellen in y - Richtung gstrexkt sein kann. Nun muss man a herausfinden, dazu verwendet man die Information f(5) = 5:
5 = 25a - 50a
a = -1/5 = -0,2

Daraus erhältst du nun die vollständige Funktionsgleichung.

Lg

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Also du musst die Funktion erstmal allgemein aufstellen mit E(x) = ax2+bx+c

Danach musst du alle drei deiner bekannten Punkte nacheinander einsetzen und dann so auflösen das du auf a b und c kommst.

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Kommentar von TheAntibrain
28.07.2016, 21:55

Achsoo also zum Bsp. mit dem Gaußverfahren ?

0

muss heißen : endet bei (10;0)

Punkte einsetzen in y=ax²+bx+c

und Gleichungssystem lösen.


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