endliche (abbrechende) brüche

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4 Antworten

Etwas ausführlicher: Ein Dezimalbruch ( = "Kommazahl") ist (definitionsgemäß) eine vereinfachte Darstellung einer Summe von Brüchen. (Bei nicht abbrechenden periodischen Dezimalbrüchen ist dies eine unendliche Summe mit endlichem Wert, aber das ist ein ganz eigenes Kapitel). Beispielsweise ist

2,371

gleichbedeutend mit der Summe.

2 + 3/10 + 7/100 + 1/1000,

die sich nach Erweitern der Brüche zusammenfassen lässt zu

2371 / 1000.

Umgekehrt lässt sich jeder Bruch mit ausschließlich Potenzen 2^x und 5^y (x,y > 0) im Nenner zu einem Bruch mit dem Nenner 10^(max(x,y)) erweitern, wobei max(x,y) der größere der beiden Exponenten ist. Dieser Bruch wiederum lässt sich definitionsgemäß in der angegebenen Weise als Summe und also als abbrechender Dezimalbruch schreiben, und zwar mit genau max(x,y) Stellen.

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Ein Bruch ist genau dann abbrechend, wenn man ihn so erweitern kann, dass im Nenner eine Zehnerpotenz steht. Hat man nämlich einen abbrechenden Dezimalbruch, dann kann man das ja als Bruch mit einer 10er Potenz schreiben.

z. B. 0,abc = abc/1000

Eine Zehnerpotenz 10^n lässt sich nun immer schreiben als 2^n * 5^n. Wenn ich jetzt einen Bruch habe, dessen Nenner nur aus 2en und 5en besteht, also z. B.

2^x * 5^y wobei x und y irgendwelche natürliche Zahlen sind,

dann kann kann ich das ohne Probleme auf eine Zehnerpotenz erweitern - und erhalte eine abbrechende Dezimalzahl.

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Kommentar von Kaktus34
31.01.2013, 00:39

vielen dank für die antwort jedoch ist das alles mir leider schon klar meine frage entseht genau jetzt und zwar wieso es denn mit 10 er potenzen abbrechend ist? das es so ist weiss ich aber wieso?

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Ich interpretiere "Brüche mit den Zahlen 2 und 5 im Nenner und deren Potenzen" mal so: Im Zähler eines solchen Bruchs steht eine beliebige ganze Zahl a und im Nenner steht das Produkt einer beliebigen Potenz von 2 und einer beliebigen Potenz von 5, also 2^m * 5^n mit natürlichen Zahlen m und n. Die Behauptung lautet dann also:

Behauptung: Für jede ganze Zahl a und beliebige natürliche Zahlen m und n bricht die Dezimalbruchentwicklung der Zahl a / (2^m * 5^n) nach endlich vielen Stellen hinter dem Komma ab.

Beweis:

  a / (2^m * 5^n)
= (2^n * 5^m * a) / (2^n * 5^m * 2^m * 5^n)    mit 2^n * 5^m erweitert
= (2^n * 5^m * a) / (2^n * 5^n * 2^m *5^m)     5^m mit 5^n vertauscht
= (2^n * 5^m * a) / ((2*5)^n * (2*5)^m)        gleiche Potenzen zusammengefasst
= (2^n * 5^m * a) / (10^n * 10^m)              weil 2*5=10 ist
= (2^n * 5^m * a) / ( 10^(n+m) )               Potenzen von 10 zusammengefasst
= (2^n * 5^m * a) * 0,0...01                   mit der 1 an der (n+m)-ten Dezimalstelle

Die Zahl a / (2^m * 5^n) bricht also spätestens an der (n+m)-ten Stelle hinter dem Komma ab.

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Weil wir im Dezimalsystem rechnen und die Zahl 10 sowohl durch 5 als auch durch 2 teilbar ist.

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Kommentar von Kaktus34
31.01.2013, 00:40

hmm macht sinn aber ist es ausreichend?

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