Ellipsen randkurve?

1 Antwort

Beispiel, der Kreis:

(x - x(0))² + (y - y(0))² = r²

Damit also:

+/- sqr( r² - (x - x(0))² ) + y(0) = y(x)

Dabei hat der Mittelpunkt des Kreises die Koordinaten P = (x(0) | y(0)).

Der Kreis besitzt den Radius r.

Nun die Ellipse:

a*(x - x(0))²  + b*(y - y(0))² = r²

mit a ungleich b, und a,b > 0

--> +/- sqr( r² - a*(x - x(0))²)/b + y(0) = y(x)

dabei sind die Koordinaten des Brennpunktes: P = (x(0) | y(0))

 

Beispiel:

2x² + y² = 1  , für Darstellung siehe Link:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%C2%B2+%2B+y%C2%B2+%3D+1

Der "obere" Teil der Ellipse ergibt sich in diesem Fall dann zu:

y(x) = sqr( 1 - 2x²)  , für Darstellung siehe Link:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+sqr(+1+-+2x%C2%B2)

Ich verstehe nicht wie man auf die Gleichung der Ellipse kommt ?

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@STR33TSTYL300

Dafür musst du verstehen wie man auf die Gleichung eines Kreises kommt.

Hier ein Link zu einem guten Video dazu:

https://www.youtube.com/watch?v=GcJ06tSTDCI

(Alternativ in Google nach: "Kreisgleichung" , suchen. )

Dann kannst du dir vielleicht noch den entsprechenden Wikipedia-Artikel durchlesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse

Hier vielleicht eine kurze nicht "astreine" Herleitung:

Wir nehmen die Kreisgleichung:

x² + y² = r²

Wir wollen nun mal schauen was passiert wenn wir andere Vorfaktoren für x² und y² wählen (hier nur welche größer 0):

Wir betrachten also:

ax² + by² = r² 

Für y = 0  folgt:

---> ax² = r²  --> x² = r²/a

Und damit:  x(1) = r/sqr(a)  und  x(2) = -r/sqr(a)

dies sind die beiden maximalen/minimalen Werte welche auf der X-Achse angenommen werden.

Für x = 0 folgt:

---> by² = r²  ---> r²/b = y²

Und damit:  y(1) = r/sqr(b)   und  y(2) = -r/sqr(b)

dies sind die beiden maximalen/minimalen Werte welche auf der Y-Achse angenommen werden.

Wir können zusätzlich aufgrund der Resultate beim Kreis erwarten, dass die Kurve die alle beiden Punkte verbindet "kreisförmiger Natur" sein wird. Und somit erhalten wir die Gleichung einer Ellipse.

(Falls einer der beiden Werte negativ ist erhälst du auch etwas interessantes, eine sogenannte "Hyperbel", für ein Beispiel siehe Link:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot(x%C2%B2+-+y%C2%B2+%3D+1)

)

Um deine Aufgabe schließlich zu lösen musst du die Gleichung nur noch nach y umformen und schon hast du die Gleichung der Randkurve.

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Bg13

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