Ellipse erkennen Mathematik?

...komplette Frage anzeigen kim - (Mathematik, Physik, Elektrotechnik)

4 Antworten

Vergleiche einfach mit folgenden Grundgleichungen:

1.) Kreisgleichung:

 x² + y² = r²   mit r > 0 aus IR^+

Die Kurve in dem Fall ist gegeben durch:

c(t) = (cos(t) , sin(t))^T , t aus (0,2pi)


2.) Ellipsengleichung:

(x/a)² + (y/b)² = r²   , r > 0 aus IR^+ , a,b > 0

Die Kurve in dem Fall ist gegeben durch:

c(t) = (a*cos(t) , b*sin(t) )^T , t aus (0,2pi)


3.) Hyperbolische Gleichung:

(x/a)² - (y/b)² = r²  , r > 0 aus IR^+ , a,b > 0

Die Kurve in dem Fall ist gegeben durch:

c(t) = (a*cosh(t) , b*sinh(t) )^T , t aus (-inf, +inf)


Es gilt dabei:

Pythagoräische Identität:

cos²(t) + sin²(t) = 1

Hyperbolischer Satz des Pythagoras:

cosh²(t) - sinh²(t) = 1


dabei sei an dieser Stelle auf die Darstellung mittels der natürlichen Exponentialfunktion verwiesen:

e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)   mit imaginärer Einheit i    ( i² := -1 )

--> cos(t) = (e^(it) + e^(-it))/2

--> sin(t) = (e^(it) - e^(-it))/(2i)

als alternative Darstellung für trigonometrische Funktionen über die komplexe Exponentialfunktion. Für die hyperbolischen Funktion wie sinh und cosh gilt eine analoge Darstellung:

cosh(t) := (e^t + e^(-t))/2

sinh(t) := (e^t - e^(-t))/2


mittels Einsetzen und Ausrechnen lassen sich dann oben genannten Identitäten leicht verifizieren. Aus diesen folgt dann die parametriesierte Darstellung der Kurve.

gibt es also nur ellipse ,kreis und hyperbolische gleichung die raus kommen könnte?

0

Ganz einfach:

Setze so 10..20 Werte im Lösungsbereich der Funktion ein und zeichne bitte diese Funktion auf. Dann siehst du es selbst ... und begreifst es wortwörtlich.

Das ist hundert mal besser als die Hinweise "siehe google..." oder "siehe Kreisgleichung".

Alles, was du auch mal selbst für dich gezeichnet hast, bis du selbst merkst, ja, das wird ein Ellipse, vergisst du sobald nie wieder. Beim Einsetzen der Werte merkst du, wie eine Funktion entsteht und wie die Abhängigkeiten (Quadrate), die du siehst, sich graphisch auch auswirken und ausdrücken.

Erst dann kannst du sowas auch einfach lernen und verstehen. Sonst stehst du außen vor dem Funktions-Bild und siehst doch nichts, wie denn auch?

google nach der allgemeinen form einer ellipse und was die zahlen bedeuten

Was möchtest Du wissen?