Elektromagnetische Wellen, warum kB₀=μ₀ε₀ωE₀?

3 Antworten

Hallo zhu2614,

die „mikroskopischen“ (also fundamentalen) Maxwell-Gleichungen sind ja

(1.1)    div |E› = ‹∇|E› = ρₑ/ε₀

(1.2)    div |B› = ‹∇|B› ≡ 0

(1.3)    rot |E› = ∇×|E› = –|B›̇

(1.4)    rot |B› = ∇×|B› = µ₀·|j› + µ₀·ε₀·|E›̇,

und im materiefreien Raum bleiben davon nur (1.3) und

(1.5)    ∇×|B› = µ₀·ε₀·|E›̇

übrig, weil Ladungs- und Stromdichte 0 sind. Das ist die Ausgangslage. Bevor wir weitermachen, schieben wir noch ein, dass

(2)    ∇ × ∇ × |E› = ∇·‹∇|E› – ∇²|E›

ist. Im materiefreien Raum bleibt davon nur -∇²|E› übrig. Bildest Du jetzt die Rotation von (1.3), erhältst Du mit (1.5) die Wellengleichung

(2.1)   -∇²|E› = -(d/dt)(∇×|B›) = -(d/dt)(µ₀·ε₀·|E›̇) = -µ₀·ε₀·|E.›̈

(2.2)    ∇²|E› – µ₀·ε₀·|E.›̈ = 0.

Du kannst natürlich auch die Rotation auf (1.5) anwenden und mit (1.3)

(3.1)    -∇²|B› = µ₀·ε₀·(d/dt)(∇×|E›) = -µ₀·ε₀·(d/dt)|B›̇ = -µ₀·ε₀·|B.›̈

(3.2)    ∇²|B› – µ₀·ε₀·|B.›̈ = 0

erhalten. Mit dem Ansatz

(4.1)   |E› = |E›(0)·cos(k·x – ωt)

ist, dann ist mit

(4.2)    ∇²|E› = (d²/dx²)|E› = k²|E›(0)·cos(k·x – ωt)

(4.3)    µ₀·ε₀·(d²/dt²)|E› = µ₀·ε₀·ω²|E›(0)·cos(k·x – ωt),

und damit ist mit (2.2) auch

(5.1)    k²|E› = µ₀·ε₀·ω²·|E›

(5.2)    k²/µ₀·ε₀ = k²c² = ω².

Aus der Wellengleichung kann man nämlich herleiten, dass

(5.3)   µ₀·ε₀ = 1/c²

ist. Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen mit c folgt also direkt aus Naturgesetzen und ist daher selbst eines. Daher unterliegt sie Gailleis Relativitätsprinzip, was übrigens auch die Grundlage der Speziellen Relativitätstheorie ist.

Deine Gleichung

(6.1)    kB₀ = μ₀ε₀ωE₀

ist letztlich äquivalent zu

(6.2)    B₀ = E₀/c.

Es ist letztlich das Maßeinheitensystem, das für diese Beziehung verantwortlich zeichnet. Würde man etwa Strecken ebenso wie Zeitspannen in Sekunden messen, hätten elektrisches und magntisches Feld dieselbe Maßeinheit.


Versteht du, wie man von der Maxwellgleichung

rot H = J+∂ D/dt

auf 

kB0cos(wt-kx+φ)=μ0ε0wE0cos(wt-kx)


kommt? Das ist eine Bedingung: Da die Gleichheit für alle Zeiten gelten muss, haben wir als Konsequenz

φ=0

und 

kB0 = μ0ε0w E0

(Koeffizientenvergleich)

Wieso du hier sagst

Die obigen Gesetze ergeben -> Die Ladung ist die Quelle des elektrischen Feldes

ist mir aber nicht klar. Was hat das nun mit dem vorigen zu tun? Was soll sich woraus ergeben?

Die Divergenzfreiheit von E steht in der vorletzten Bedingung auf Seite 14, was aber automatisch erfüllt ist.

Was es mit der Wahl der Achsen auf sich hat, habe ich im anderen Thread erklärt.


Naja die Herleitung findest du in den Maxwellgleichungen, die Formel sagt ja aus das die elektrische Energie in einer der Welle zu 90° verschobenen magnetischen energie entspricht.

Die Spannung bildet ein magnetisches feld immer dann maximal aus wenn die Spannungs-/Strom änderung am größten ist. 

Vielleicht kannst du deine frage ja noch etwas differenzieren.

Ok, was soll denn das mit den Achsen? Ich verstehe es nicht. Kannst du mir es erklaeren?

dEy/dx-dEx/dy=-dBz/dt

-kE0cos(wt-kx)=-wB0zcos(wt-kx+φ)

Die obigen Gesetze ergeben -> Das Magnetfeld ist quellenfrei

dBx/dz-dBz/dx=μ0ε0dEy/dt

kB0cos(wt-kx+φ)=μ0ε0wE0cos(wt-kx)

Die obigen Gesetze ergeben -> Die Ladung ist die Quelle des elektrischen Feldes

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@zhu2614

Die Ladung ist die Quelle des elektrischen Feldes

Natürlich. EM-Wellen breiten sich aber auch im materiefreien Raum aus, wo es keine Ladungen gibt. Dort breiten sie sich sogar besonders gut aus, und dort ist natürlich auch div(|E›)=0.

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die Formel sagt ja aus das die elektrische Energie in einer der Welle zu 90° verschobenen magnetischen energie entspricht.

Genau das hat man bei einer ebenen EM-Welle eben nicht!!!

E und B sind gleichphasig. Wenn die magnetische Energie maximal ist, ist dies auch für die elektrische Energiedichte der Fall, und wenn die eine Null ist, so ist auch die andere Null.


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