Einfache Berechnungsmethode zur Bestimmung von Teilflächeninhalten außerhalb von Kreissektoren in einem Quadrat?

...komplette Frage anzeigen Skizze - (Mathe, Mathematik, Geometrie)

6 Antworten

Hallo,

ich habe es auf geometrischem Weg gelöst, wobei ich den Winkel Alpha in der Größe 63° gewählt habe; der Lösungsweg läßt sich aber genauso auf andere Winkel übertragen.

Sieh Dir die hochgeladene Skizze an:

Ich habe zunächst die Diagonale AC eingezeichnet. So bekomme ich das Dreieck ACE, von dem drei Stücke bekannt sind, nämlich die Seite AE, die dem Kreisradius von 5 cm entspricht, die Länge der Diagonale, die 5*√2 cm entspricht, und der Winkel ACE, der 18° groß ist (63-45).

So kann ich die Strecke CE nach dem Kosinussatz berechnen, denn 
5²=(CE)²+(AC)²-2*CE*AC*cos(18°)

Wenn Du dies nach CE umstellst, bekommst Du die quadratische Gleichung (CE)²-2*AC*cos(18)+(AC)²-25=0, die sich nach der pq-Formel lösen läßt. CE=2,2277 cm.

Nun kannst Du die Fläche des Dreiecks BCE berechnen:

2,5*2,2277*sin(63) cm²

Wenden wir uns dem Dreieck ABE zu.

Die Strecken AB und AE sind bekannt: jeweils 5 cm.

Zu bestimmen wäre die Strecke EB, was sich - da die Strecken BC und CE sowie der von ihnen eingeschlossene Winkel bekannt sind, leicht mit dem Kosinussatz erreichen läßt: EB=4,4552 cm.

Nun kannst Du den Winkel BAE ebenfalls nach dem Kosinussatz bestimmen (52,91°).

Die Fläche des Dreiecks ABE ist demnach 2,5*5*sin(52,91) cm².

Nun bildest Du die Summe der beiden Dreiecksflächen und erhältst so die Fläche des Vierecks ABCE.

Von dieser Fläche ziehst Du nun die Fläche des Kreisausschnittes ab, der sich nach 25*π*(52,91/360) berechnet.

Damit wärest Du fertig.

Bei meiner Konstruktion mit einem Winkel von 63° beträgt die Fläche des Vierecks 14,93 cm², die des Kreisausschnittes 11,54 cm².

Herzliche Grüße,

Willy

Skizze - (Mathe, Mathematik, Geometrie)
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Willy1729 27.07.2016, 21:25

Die Fläche des Dreiecks ABE kannst Du natürlich auch nach der Formel von Heron bestimmen, da bereits alle drei Seiten bekannt sind. Dann kannst Du Dir die Berechnung des Winkels sparen.

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Willy1729 28.07.2016, 05:41
@Willy1729

Allerdings brauchst Du den Winkel für die Bestimmung der Kreissektorenfläche - mein Kommentar war Blödsinn.

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Ich würde das mittels Integration lösen:

Setze das Quadrat in ein Koordinatensystem mit dem linken unteren Eck im Ursprung, dann kannst du die obere und untere Begrenzung der Fläche als Funktion nach x (oder y) ausdrücken:

Für den Kreis: x^2+y^2=5^2 -> y=(25-x^2)^(1/2)

Für die Gerade: y=1/2x+2.5

(Hier hab ich mittels Pythagoras die Steigung berechnet, dann den Punkt (5,5) eingesetzt für die "Verschiebung".)

Dann noch den Schnittpunkt: (25-x^2)^(1/2)=1/2x+2.5 -> x=3 (oder -5)

Also: I [3,5] 1/2x+2.5 - (25-x^2)^(1/2) dx = Fläche

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Schnittpunkt von Gerade und Kreisbogen bei (3|4) wurde schon berechnet. Oberes Dreieck hat demnach FI 2·1·0,5. Unteres Flächenstück als Differenz aus Trapez (2+5)·4·0,5 minus Kreissegment- FI  mit Öffnungswinkel phi über tan phi = 4/3.

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Willibergi 31.07.2016, 17:55

Oberes Dreieck hat demnach FI 2·1·0,5

Das ist kein Dreieck - die linke Kante ist nicht gerade.

LG Willibergi

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Wechselfreund 31.07.2016, 18:07
@Willibergi

Parallele zur x-Achse durch den Schnittpunkt von Gerade und Kreisbogen ergibt im oberen Teil enin Dreieck! (Ich komme übrigens beim Nachrechnen auch auf den angegebenen Zahlenwert!)

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Wechselfreund 31.07.2016, 18:16
@Wechselfreund

... die vergrößerte Abbildung genutzt, in der Abbildung in der Frage liegt das Teildreiecke links... In jedem Fall komme ich ohne Integration aus!

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hast du denn die richtige Lösung für die grüne Fläche? Dann gib sie;

denn dann  bringt es  mehr Spaß über einen Rechenweg nachzudenken.

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Willibergi 27.07.2016, 20:03

Die Fläche ist etwa 2,40881 FE groß, wenn dir das den Ansporn gibt. ^^

LG Willibergi

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Willibergi 27.07.2016, 20:09
@Willibergi

EDIT: Ich sehe gerade, dass ich einen Tippfehler gemacht habe: A = 3,40881. ^^

LG Willibergi

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War in der ursprünglichen Aufgabenstellung der Winkel gegeben?

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Willibergi 31.07.2016, 17:09

Die Gerade ist die Diagonale eines Rechtecks, dessen horizontalen Seitenlängen doppelt so lang wie die vertikalen sind.

Somit ist der Winkel (der rechts oben liegt) tan⁻¹(2) ≈ 63,43° groß. ;)

LG Willibergi 

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Verdammt, da war jemand schneller als ich ;D

Das will ich jetzt aber nicht umsonst geschrieben haben^^

 - (Mathe, Mathematik, Geometrie)
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varlog 27.07.2016, 20:39

Was mich noch interessieren würde: War das auch deine Lösung oder bist du ohne Integration ausgekommen?

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Willibergi 28.07.2016, 08:19
@varlog

Auch ich habe das mittels Integration gelöst.

Zwei Funktionen, deren Flächeninhalt bis zur x-Achse ich berechnet habe.

Die integrierte Version meiner Funktion ist jedoch so lang, dass ich zweifelte, dass dies die einfachste Lösung ist - aber zumindest korrekt war sie.

LG Willibergi

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