Eine Frage zum Newton Verfahren!

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3 Antworten

Eine Funktion kann immer nur höchstens so viele reelle Nullstellen haben, wie ihr Grad angibt. Dabei ist es möglich, dass wegen eines Extremwerts in einer Nullstelle zwei so zu sagen zusammenfallen (Punkt mit waagrechter Tangente). Es gibt sogar dreipunktige Berührungen, wenn da auch noch ein Wendepunkt ist.

Einfaches Beispiel: y = x³

Auch möglich ist, dass bei geraden Exponenten die gesamte Kurve oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt. Dann gibt es gar keine Lösung.

Wenn in den Lösungsformeln negative Radikanden von Wurzeln vorkommen, liegen diese Lösungen nicht in R (reelle Zahlen)..

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Es gibt analog zur pq-Formel die exakte PQRST-Formel für Gleichungen 3. Grades:
x1=...
x2= ...
x3=...
Alles unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php
(rechnet mit Cardanische Formel und PQRST ... mit LINK zu den Formeln)

Natürlich kann es dabei zu Spezialfällen wie x1=x2 Mehrfach-Nullstellen usw. kommen.
Bei Deinem Beispiel gibt es neben der einen reellen Nullstelle noch 2 komplexe Nullstellen.

Hinweise:
- Newton V. nimmt man nur, wenn man keine explizite Formel hat
- Newton V. für komplexe Nullstellen ungeeignet (konvergiert nicht zu den komplexen Stellen, sondern nur zu dieser einen reellen Nullstelle)
- PQRST Formel ist kein Schulstoff!

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Grundsätzlich hast du Recht, das gilt allerdings nur, wenn man auch komplexe Nullstellen berücksichtigt. Für diese Funktion gibt es 2 komplexe und eine reelle Nullstelle:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+x^3%2B2x-5+roots

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