eine Frage zu einer Partialbruchzerlegung die Aufgabe lautet lautet (4x²+2x+4)/(x³+2x²-x-2) dx?

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2 Antworten

Wir haben die gebrochen rationalen Funktion

(4x^2+2x+4)/(x^3+2x^2-x-2)

Erstmal Nullstellen vom Nenner ermitteln

y = 0

x^3 + 2x^2 - x -2 = 0

x^2(x + 2) -(x + 2) = 0

(x^2-1) (x+2) = 0

(x+1)(x-1) (x+2) = 0

x1 = -1
x2 = 1
x3 = -2

(4x^2+2x+4)/((x-1)(x+1)(x+2))

Drei lineafaktoren, also drei unbekannte.  

(a)/((x-1) + (b)/((x+1)) + (c)/((x+2))

Erweitern :

(a)*(x+1)(x+2) + (b)*(x-1)(x+2) + (c)*(x+1)(x-1)

Ausmultiplizieren:

ax^2 + 3ax + 2a + bx^2 + bx -2b + cx^2-c

Ordnen :

ax^2 + bx^2 + cx^2 + 3ax + bx + 2a - 2b - c

Ausklammern:

x^2(a + b + c)+x(3a+b) + 2a -2b-c

Verglich und LGS :

(I) a + b + c = 4
(II) 3a + b = 2
(III) 2a - 2b - c = 4

Gelöst bekommst du :

(5)/(3) / (-3)/ (16)/(3)

Also :

(5)/(3)/(x-1) + (-3)/(x+1) + (16)/(3)/(x+2)

Das zu intrigieren sollte keine Probleme mehr darstellen.

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