Eine Frage zu Ähnlichkeitsabbildungen. Wer kennt sich aus?

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Ich weiß nicht was Ähnlichkeitsabbildungen sind 0%
Ich weiß nicht, wie das Verhältnis ist 0%
A und U haben NICHT das gleiche Verhältnis 0%
A und U haben das gleiche Verhältnis 0%

3 Antworten

Rechne doch einfach nach:

Ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 cm hat einen Umfang von 8 cm und eine Fläche von 4 cm².

Wenn Du nun die Seitenlänge auf 4 verdoppelst, verdoppelt sich auch der Umfang auf 16 cm.

Die Fläche hat sich aber vervierfacht, sie beträgt jetzt nicht mehr 4 cm², sondern 16 cm².

Die Verhältnisse bleiben also nicht gleich, weil der Umfang linear wächst, die Fläche aber im Quadrat zunimmt.

Ich wundere mich allerdings etwas über Eure Mathelehrer, die das angeblich nicht wissen wollen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Krakimo
09.04.2016, 12:08

Danke für die Antwort, Willy. Was du hier beschreibst, ist ja nur eine "Verlängerung" der Seitenlängen. Vielleicht habe ich mich falsch ausgedrückt, aber ich meinte eher eine Ähnlichkeitsabbbildung, was ja 1. eine Zentrische Streckung und 2. eine Kongruenz"aktion" voraussetzt. Also z.B. erst wir das Urbild mit k=2,5 zentrisch an B gestreckt und dann dieses Zwischenbild um 60° gedreht (z.B. an C'). Mit den Mathelehrern habe ich mich falsch ausgedrückt, ich habe geschrieben sie wüssten es nicht, in Wirklichkeit sind sie sich nur nicht sicher. Ich habe sie mit der Frage mitten im Unterricht überrascht und sie wollten wahrscheinlich nur nichts Falsches sagen.

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Kommentar von Willy1729
13.04.2016, 11:24

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Da die Koch-Kurve streng selbstähnlich ist, habe ich das mal per Iterationsrechner durchgerechnet:
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#ZZZZZ0129

Dreieck sei Index i=0. Ab Index 3 (also 3 Ausbuchtungsschritte weiter) sehen alle Koch-Kurven annähernd gleich aus (Schneeflocke).

Dort ist das Verhältnis von Umfang zur Fläche 2.082... also rund 2

Bild 1

Vergrößert man eine Seite von 2/pow(3,1/4) auf 20/pow(3,1/4)=15.19671371303185...

ist bei i=11 wieder das Verhältnis 1.999... also rund 2.

Bild 2


Egal wie stark man eine Seite und damit den Umfang vergrößert:
durch weitere Ausbuchtungsschritte (die sowiso erst durch Vergrößerung sichtbar werden)
bekommt man immer annähernd den SELBEN Verhältnisfaktor hin.

Durch beliebige Vergrößerung und beliebige Ausbuchtungsschritte kann man die Anzahl der übereinstimmenden Nachkommastellen des Verhältnisfaktors

beliebig genau anpassen! (Grenzwert)

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Kommentar von claushilbig
10.04.2016, 23:30

Schöne Antwort - ich sehe nur den Zusammenhang zur Frage nicht ...

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Das ist keine Frage der Abstimmung! (wo hier viele Schüler antworten)

Mathe ist Logik!

https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)

Umfang Ja, da U ~ l

(Umfang ist proportional zur Länge)

ABER Flächeninhalt ist eine nichtlineare Funktion, die richtig kompliziert werden kann:

https://de.wikipedia.org/wiki/Koch-Kurve

Wenn die U's proportional sind, können die A's zu 99,999999999% nicht genau so proportional sein.

Anders sieht es aus mit der Frage: kann es eine Form geben, wo bei Vergrößerung U und A immer proportional zueinander sind?

Dazu habe ich noch nichts gefunden... 

Interessiert Dich das, dann Frage hier nach, denn das ist eine Integral-Optimierungsaufgabe:

Kurvenlängenintegral von Form ~ Flächenintegral von Form

gesucht Form-Funktion.

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Kommentar von hypergerd
09.04.2016, 18:40

siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/A/V-Verh%C3%A4ltnis

So wie das A/V (Oberfläche zu Volumen-Verhältnis) eine Funktion einer Raum-Dimension (Radius oder Seitenlänge) ist,

so ist auch das U/A (Umfang zu Oberfläche) eine Funktion einer Raum-Dimension.

Genau diese Abhängigkeit ist die "Störfunktion" , die eine direkte  Proportionalität verhindert.

DENN: Proportionalitätsfaktor muss eine Konstante sein!

Es gibt aber fraktale Strukturen, wo der Umfang gegen UNENDLICH strebt, ABER die Fläche konst. bleibt. Wenn man eine Form konstruiert, die genau zwischen diesen fraktalen Formen und einer Schneeflocke liegt -> und kleine Abweichungen toleriert, könnte was interessantes herauskommen...

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