Eine Frage, hat die Funktion ein globales Extrema, das lokale habe ich bereits ermittelt?

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4 Antworten

  Hier ich mach dir die ganze Kurvendiskussion ( KD ) so wie es sich gehört ( übrigens ein Hobby von mir ) Beginnen wir mit den Nullstellen . Weil viele von euch das noch micht drauf haben. Die Frage kommt ständig.  Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )

   " Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen. "

     Also keine . Als Nächstes kommt die Asymptotik an die Reihe; Ableiten is noch lange nich. Verhalten für x ===> ( + °° ) ; ich schwärme ja für fiese Schmuddeltricks .  Mit deiner Definition von f ( x ) führe ich die Funktion g ein

    g  (  x  )  :=  (  x  ²  +  x  -  2  )  exp  (  x  )          (  1.1a  )

      Dann gilt

      f  (  x  )  = 1 / g  (  x  )       (  1.1b  )

    Für x ===> ( + °° )  geht auch g gegen ( + °° )  , folglich f gegen ( + 0 ) Und das Verhalten von ( 1.1a ) für x ===> ( - °° )  diktiere ich wieder für FRS

           " Die e-funktion unterdrückt jedes Polynom. "

        g  (  -  °°  )  =  (  +  0  )  ===>  f  (  -  °°  )  =  (  +  °°  )         (  1.1c  )

   In ( 1.1c ) muss es ( + 0 ) heißen, weil ja das Polynom ( 1.2 ) gerade ist

      p  (  x  )  =  x  ²  +  x  -  2         (  1.2  )

   Mit Asymptotik ( 1.1c ) ist ein globales Maximum bereits ausgeschlossen; nach Oben ist f ( x ) unbeschränkt.

    Noch lange sind wir nicht fertig; als Nächstes stehen die Polstellen des Nenners ( 1.2 ) an. Schaut doch mal, was Pappi alles weiß:

        https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

     Der Satz von der rationalen Nullstelle  ( SRN )

    Naa; hast du dich erholt von deinem Schock?

    Ich schick erst mal ab, weil dieser Editor bei Fragen und Antworten extra Abfragen eingebaut hat,  die ihn absichtlich abstürzen bzw. auf Totschleifen brettern lassen

    " Ich hab mir so viel Mühe gegeben; und jetzt sind alle Unterpunkte zu meiner Frage weg. "

    Bei Kommentaren läuft er allerdings ohne Beanstandungen. Es folgt noch ein Teil 2 , wo wir uns kritisch mit dem SRN  auseinander setzen werden so wie Polstellen definieren.

gilgamesch4711 28.06.2017, 14:55

  Hier Ella;  Mathe kann Mega spannend sein. Stellt doch Wikis Behauptung, Opa Gauß habe den SRN auch nur gekannt geschweige entdeckt, die GRÖSSTE FÄLSCHUNG DAR IN DER GESCHICHTE DER MATEMATIK . Der  SRN wurde entdeckt von einem anonymen Internetgenie 1990 .

   1) Gauß ist doch Kult; wie erklärst du dir, dass dein Lehrer noch nie vom SRN vernommen hat? ( Die meisten Matheprofs übrigens auch nicht ( ! ) )

   2) Schau dir ruhig nochmal an, wie man herleitet, dass Wurzel ( 2 ) irrational ( Selbst auf Youtube findest du da Laberfritzen )

   Halt Stop; und jetzt nochmal der Beweis über den SRN . Der Moment der Erleuchtung - im japanischen ===> Zen Buddhismus heißt er ===> Satori .

   Wie deckt man Fälschungen auf? In Youtube fand ich einen Genossen, der beweist dir nacheinander, dass 2 ^ 1/2 , 5 ^ 1/2 und 7 ^1/2 irrational. Der kann doch nie vom SRN gehört haben. Du könntest genau sop gut her gehen und den Fall untersuchen 4 711 ^  1 / 1 234  ...

   3) Was Schüler noch nicht wissen: Die einzigen seriösen Schmöker über Algebra sind Artin und v.d. Waerden ( 1930; kennt dein Lehrer natürlich. ) Der soll ruhig mal vergleichen, ob diese beiden Autoren etwas vom SRN wussten.

   Dabei habe ich meine größten Trümpfe noch gar nicht gezogen. Schimpfen war schon immer meine Lieblingsbeschäftigung;  aber wir müssen schließlich hier zu Potte kommen.  Wie löst man ( 1.2 ) über den SRN?

       p  (  x  )  =  x  ²  -  p  x  +  q      (  2.1a  )

             p  =  (  -  1  )  ;  q  =  (  -  2  )      (  2,1b  )

     Vieta das geschmähte Stiefkind

        q  =  x1  x2  =  (  -  2  )       (  2.2a  )

     Du hast verstanden: Wir müssen das Absolutglied 2 zerlegen in zwei GANZZAHLIGE  Faktoren. Da die 2 ja prim ist, bleibt da ( bis auf das Vorzeichen ) nur eine Möglichkeit; das richtige Vorzeichen kriegen wir mit Vieta p

             p  =  x1  +  x2  =  (  -  1  )        (  2.2b  )

       x1  =  (  -  2  )  ;  x2  =  1      (  2.2c  )

   Sind ( 2.2c ) unsere Polstellen? Bei ===> transzendenten Funktionen ist Vorsicht geboten; etwa sin ( x ) / x hat keinen Pol, sondern die Unstetigkeit ist hebbar. Und sin ( x ) / x ² hat keinen Pol zweiter, sondern nur erster Ordnung.

    DEFINITION  ( Pol n-ter Ordnung )

  ================================

   y = f ( x ) hat einen Pol n-ter Ordnung in x0, wenn die Funktion

             g  (  x  )  :=  f  (  x  )  (  x  -  x0  )  ^  n       (  2.3a  )

    stetig ist in einer ( offenen ) Umgebung von x0

      g  :=  g  (  x0  )    =           lim        g  (  x  )         (  2.3b  )

                                           x ===> x0

              g  <  >  0         (  2.3c  )

          Dabei ist Ungleichung ( 2.3c ) entscheidend für die Eindeutigkeit; sonst könnte ja n ( fast ) alles sein .

 ========================================================

   Prüfen wir nach, dass x2 = 1 Polstelle erster Ordnung von f ( x ) ist; gemäß ( 2.2c;3a )

      g  (  x  ;  1  )  =  f  (  x  )  (  x  -  1  )  =  exp  (  -  x  )  /  (  x  +  2  )        (  2.4a  )

      g  (  1  ;  1  )  =  1 /  (  3  e  )  >  0     (  2.4b  )

   Du siehst: Schon dein Definitionsbereich stimmt nicht.

    D  (  f  )  =  |R  \  {  - 2  ;  1  }         (  2.5  )

   Immer wieder werde ich angemault, wenn ich darauf bestehe: Erst Polstellen und Asymptotik; dann haben wir nämlich schon einen Slalom fest gelegt, in welchen Intervallen Extrema notwendig sind. Übrigens; wegen des V Z W kann eine Funktion mit einer Polstelle ungerader Ordnung  niemals globale Extrema besitzen.

  Von Links kommt ja der Graf von ( + °° ) , wie wir oben in ( 1.1c ) gesehen haben. Da die Kurve links von x1 stetig ist und ein Überqueren der Abszisse nicht in Frage kommt,  muss sie links von x1 abermals nach ( + °° )  abhauen - aha; wir erwarten ein Minimum. Rechts von dem ungeraden Pol haben wir einen V Z W ; analog wie oben argumentieren wir, dass auf ( - 2 ; 1 ) ein Maximum liegen muss:

            x  (  min  )  <  (  -  2  )  <  x  (  max  )  <  1     (  2.6  )

   Wir  sind jetzt zu einem gewissen Abschluss gelangt; im 3. Kapitel werde ich die erste Ableitung Null setzen.

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gilgamesch4711 28.06.2017, 16:45
@gilgamesch4711

  Beim Ableiten sage ich es nochmal für alle, die auf dem Woodway sind.

  Die Quotientenregel ( QR ) ist ABSOLUT  TÖDLICH; ihr müsst sie MEIDEN WIE DIE PEST .  Viel mehr mache ich den Bruch in f ( x ) weg ( Aktion Bremer Stadtmusikanten )

  " Etwas Besseres als die QR werdet ihr überall finden. "

         (  x  ²  +  x  -  2  )  y  =  exp  (  -  x  )        (  3.1  )

    Jetzt ableiten mit der Produktregel; diese Technik nennt man ===> implizites Differenzieren ( ID )  , und zwar ID , weil hier nirgends nach x umgestellt wird.

   (  x  ²  +  x  -  2  )  y  '  +  (  2  x  +  1  )  y  =  -  exp  (  -  x  )        (  3.2a  )

  ID um so mehr, als wir in ( 3.2a ) sang-und klanglos setzen y ' = 0

                (  2  x  +  1  )  y  =  -  exp  (  -  x  )        (  3.2b  )

   Du kennst das Additions-und das Subtraktionsverfahren; kennst du auch schon das Divisionsverfahren ( 3.1 ) : ( 3.2b ) ? Dies ist zulässig, weil ja überall y < > 0 .

      
            x  ²  +  x  -  2 
   ------------------------------    =   (  -  1  )               (  3.3a  )

            2  x  +  1

        x  ²  +  3  x  -  1  =  0     |   MF      (  3.3b  )

   x  (  min  |  max  )  =  -  1/2  [  3  -/+  sqr  (  13  )  ]    (  3.4  )

   Halt stop; ich bin nicht so tolerant wie euer Lehrer.  Der TR bleibt in der Schublade, wenn wir ( 2.6 ) beweisen.

               2  <  |  x  (  min  )  |              (  3.5a  )

     2  <  1/2  [  3  +  sqr  (  13  )  ]         |  *  HN      (  3.5b  )

       1  <  sqr  (  13  )        (  3.5c  )

    Hier wer ist gut in Ungleichungen? Sämtliche Umformungen, die von ( 3.5b ) nach ( 3.5c ) führten und uns halfen, die Wurzel zu isolieren, sind ===> Äquivalenzumformungen. Wenn ( 3.5c ) wahr ist, folgt auch Behauptung ( 3.5b )

     (  -  2  )  <  x  (  max  )     (  3.6  )

    Trivial, da wir sicher sind, dass x ( max )  positiv sein muss. Dies folgt Wahl weise aus Vieta q oder der cartesischen Vorzeichenregel von ( 3.3b )

          x  (  max  )  <  1        (  3.7a  )

   Hier lautet die zu ( 3.5c ) analoge Form

             sqr  (  13  )  <  5       (  3.7  )

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Ella5966 29.06.2017, 17:39
@gilgamesch4711

Hallo gilgamesch4711, nach dem ich das alles gelesen habe, will ich nicht mehr ins Kino, nicht mehr ins Theater, ich möchte jetzt nur Mathe und das nur deshalb, weil du es so klasse und spannend erklärt hast. Möchte einfach auch so werden, wie sagen wie " Papa" ( wie du dich selbst im Text bezeichnet hast ), der die Mathematik buchstäblich lebt und auch spannend erlebt und dazu noch unterhaltsam vermittelt. Richtig klasse!!!!!!

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gilgamesch4711 30.06.2017, 11:24
@Ella5966

  Danke schön Ella, dass du mich als hilfreichste Antwort erwählt hast .

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f(x) = e ^-x / (x^2 + x - 2)

f(x) = e ^-x / ((x+2) * (x-1))

lim x-> -2 f(x) = -unendlich

lim x-> +1 f(x) =+-unendlich

tmattm 28.06.2017, 10:54

Den Randwert nicht vergessen:

lim x-> -unendlich f(x) =unendlich

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Nö, weil das Ding an den Nullstellen des Nenners gegen +- Unendlich abhaut.

Die Funktion schreibt man übrigens f(x) = 

Ella5966 28.06.2017, 09:58

f (x) für die Funktion habe ich auch so geschrieben. Für die Verdeutlichung habe ich den Zähler und Nenner separat und deutlicher aufgeführt.

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Drainage 28.06.2017, 10:00
@Ella5966

Kack gf hat wieder die Hälfte der Antwort nicht gepostet... 

f(x) = e^-x / (x² + x - 2)

Wegen Punkt vor Strich würde man bei deiner Version das e^-x lediglich durch x² teilen. Punkt vor Strich sollte dir spätestens seit der 4. Klasse bekannt sein! Das hat nichts mit Funktionen zu tun!

Wenn man sich an die mathematischen Gesetze hält, muss man auch nichts separat aufführen.

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Ella5966 28.06.2017, 10:15
@Drainage

man darf aus der Summe: Nenner (x^2 + x -2 ) nicht  einfach so teilen, das muss auch bekannt sein

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Drainage 28.06.2017, 22:12
@Ella5966

Wat is? Du musst jedenfalls ne Klammer schreiben, wenn das ganze Teil im Nenner stehen soll.

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Was hast du denn als Ableitung rausgekriegt?

Ella5966 28.06.2017, 10:04

habe die Quiotientenregel angewandt und rausgekriegt:

f ' (x) = e^ -x^ mal ( -x^2 - 3 x + 1 ) im Nenner steht ( x^2 + x - 2 ) ^2

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Ella5966 28.06.2017, 15:45
@Tannibi

e^- x mal heißt ( multiplizieren ) mit ( -x^2 -3 x + 1)

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Tannibi 28.06.2017, 15:59
@Ella5966

Da steht halt nicht

"e^-x mal

sondern

"e^-x^ mal ().

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