Ebene und Durchschnitt mit anderer Ebene?

Aufgabe 2) - (Schule, Technik, Mathe)

2 Antworten

Hallo,

ich habe mir den Teil 1 mal angeschaut.

Vorsicht: die Ebene, die durch die Punkte a1, a2 und a3 "bestimmt" ist, ist nicht eindeutig, weil die Vektoren vec(a1a2) und vec(a1a3) linear abhängig sind:
es gilt

3 vec(a1a2) = vec(a1a3), d.h. dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen.

Durch eine Gerade gehen unendlich viele Ebenen.

Um eine Ebene eindeutig zu definieren, braucht  man zwei linear unabhängige Vektoren und einen Aufpunkt, oder drei Punkte, die nicht auf einer Linie liegen!

Gruß

ahh, vielen dank. Konntest du auch hetausfinden, was man in Aufgabenteil 2 machen könnte?

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@UbeKan

Ja, du kannst die Ebene F so darstellen:

F: (x,y,z) = p + s•(a1-p) + r•(a2-p)

ist eine Parameterdarstellung von F.

Wenn du dich nicht verrechnest, liegt dann auch a3 in dieser Ebene, da die Gerade (a1a2) in der Ebene F liegt.

Die (x;y)-Ebene (nenne wir sie mal E) sind ja alle Punkte des ℝ³  für die gilt: z=0, also  die Punkte (x,y,0).

Setze in der Ebenengleichung z = 0, also stelle folgende Gleichung auf: F ∩ E sind die Punkte (x,y,0) = p + s•(a1-p) + r•(a2-p)

Aus der Gleichung müsste dann einer der Parameter r oder s sich eliminieren lassen, und dann hat man die Gleichung einer Geraden.

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@eddiefox

Ich komme auf folgende Geradengleichung:

F ∩ E : (x,y,0) = (4,-2,0) + r' • (1,3,0), r' ∈ ℝ

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Hier siehst du den Rechenweg (siehe Bild)

Schnitt von zwei Ebenen - (Schule, Technik, Mathe)

Ich danke dir vielmals!!!!!!!! vielen vielen vielen Dank für deine Hilfe!!! Ohne dich hätte ich das nie verstanden. ich kann mich bei dir nur bedanken. Du hast den ganzen Sachverhalt zudem sehr verständlich beschrieben. Vielen Dank!!! Könnte ich dir persönlich vielleicht wöchentlich, falls mal wieder welche aufkommen sollten, Fragen stellen? Leuten, verständlich und richtig Sachen in dieser Art und Weise znd mit diesem Fleiß verständlich zu erklären ist wirklich ein Talent!!! Hut ab, Chapeau! Vielen Dank!!!

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@UbeKan

Gerne.

Könnte ich dir persönlich vielleicht wöchentlich, falls mal wieder welche aufkommen sollten, Fragen stellen?

Kannst du machen, dann stell mir am besten eine FA.
Ich kann dir nur nicht garantieren, dass ich immer Zeit haben werde; wenn du Fragen hast.

Versuche es einfach. Wenn ich Zeit habe, helfe ich gerne.

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nur sind dir glaube ich, einige kleine Fehler unterlaufen. der vektor a1p zum beispiel wird berechnet, indem man p-a1 rechnet.

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@UbeKan

Ja du hast Recht, ich sehe es auch gerade.

Nur ist es für die Rechnung unerheblich. Da es Richtungsvektoren sind, mit denen die Ebene aufgesappt wird ist es unerheblich, ob man a-p, p-a,  oder 1/3 (p-a) oder -3(a-p) nimmt....

In der Ebenengleichung werden die Richtungsvektoren eh mit allen reellen Zahlen multipliziert (r und s). Die Ebene ist die gleiche.

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@eddiefox

Aber du hast natürlich Recht: wenn man vec(ap) schreibt (Vektor von a nach p), dann sollte man auch p-a rechnen und nicht a-p.

An anderer Stelle kann das wichtig sein.

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vielen dank für deine Rückmeldung! und dann hätte ich noch eine frage: was passiert mit dem Term der rechts von der gleichung steht, ganz unten im Kasten?

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@UbeKan

Du meinst die Gleichung s = -5 - 7r ?

Das ist die 3. Gleichung (3), aufgelöst nach s.

In den Gleichungen (1) und (2) ersetze ich das s durch -5-7r.
Ich mache mal die Rechnung für die Gleichung (1):

(1)  x = 9 + s + 5r  (s ersetzen folgt)   x = 9 + (-5 -7r) +5r   <=>

x = 9 - 5 - 7r + 5r   <=>  x = 4 - 2r

Das Gleiche wird in der Gleichung (2) gemacht.

Dadurch verschwindet der Parameter s und es bleibt nur der Parameter r übrig. So sieht man, dass die 3 Gleichungen eine Geradengleichung sind: eine Parameterdarstellung :

(x,y,0) = Aufpunkt + r mal Richtungsvektor (-2,-6,0)

Der letzte Schritt ist nur rein "kosmetisch". Ich vereinfache gerne, soweit es geht. Ich teile den Richtungsvektor durch -2 (oder multipliziere ihn mit -1/2), dann sieht er "schöner" aus, er wird zu (1,3,0). Man erhält

(4,-2,0) + r (-2,-6,0) = (4,-2,0) -1/2 r (1,3,0)

Dann setzte ich -1/2 r = t, wieder nur weil es einfacher aussieht:

(x,y,0) = (4,-2,0) + t (1,3,0) ,  t ∈ ℝ.

Das kann man machen, weil wenn r alle reellen Zahlen durchläuft, dann durchläuft auch - 1/2 r alle reellen Zahlen, also auch t.

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