Ebene bei linearer Abbildung?
Hab ich das richtig verstanden: Man nimmt die Einheitsvektoren und bildet sie durch Matrix
Matrixmultiplikation ab auf einen neuen Vektor. Das macht man drei mal und dann spannt man mit diesen Vektoren durch Parametrisierung eine Ebene auf?
1 Antwort
Das wird nicht zielführend sein, denn die Matrix ist invertierbar (was bedeutet, dass die Bilder der drei Einheitsvektoren eine Basis bilden werden und somit den ganzen Raum aufspannen und nicht nur eine Ebene).
Zur Lösung der Aufgabe denk mal über folgende Frage nach: Sei v ein Vektor, der auf der gesuchten Ebene liegt. Wohin wird dieser Vektor durch die Matrix abgebildet?
Du bist auf dem richtigen Weg! Jetzt stellt sich nur die Frage: Die Eigenvektoren zu welchem Eigenwert (und warum)?
Ich würd mal sagen 1, da der Eigenwert die (geometrische?) Vielfachheit 2 hat, und man deshalb eine Ebene damit aufspannen kann
Das ist natürlich rechnerisch richtig, aber die Argumentation ist ein wenig verdreht... Wenn der Raum 4-dimensional wäre, könnte es ja zwei Eigenwerte der Vielfachheit 2 geben, sodass man mit diesem Argument alleine nicht weiterkommt ;)
Es gibt einen ganz anschaulichen Grund, weshalb wir die Eigenvektoren zum Eigenwert 1 suchen müssen.
Ich schätz mal es muss was damit zu tun haben, dass die Matrix symmetrisch, und somit invertierbar ist? Ich verstehe nur nicht, was ich daraus folgern kann
Du denkst viel zu kompliziert... Denk mal ganz unmathematisch darüber nach, wie eine Spiegelung eigentlich funktioniert und wohin ein Punkt gespiegelt werden muss, der auf dem Spiegel selbst liegt.
Auf dem Spiegel eben. Also da wo er vorher, schon war. Ne, ich verstehs nicht :/
Doch, ist richtig! Der Punkt wird auf sich selbst abgebildet.
Wenn wir das zurück in die Mathematik übersetzen heißt das, dass ein Vektor v, der auf der Ebene liegt, auf sich selbst (also auf v) abgebildet wird. Oder kurz:
Av = v.
Aber die Vektoren v mit Av = v (= 1 * v) sind gerade die Eigenvektoren von A zum Eigenwert 1.
Ah ok, danke. Aber warum benutzen wir nicht den Eigenvektor mit lambda= - 1? Was ist der Grund, warum wir die mit lambda=1 nehmen?
Das habe ich gerade versucht zu erklären. Die Eigenvektoren v zum Eigenwert -1 würden die Gleichung Av = -v erfüllen. Das heißt, wenn v nicht gerade der Nullvektor ist, würde v auf einen anderen Punkt als sich selbst abgebildet. Aber das passiert bei Punkten, die auf dem Spiegel liegen, einfach nicht ;)
Im Eigenraum irgendwo? Ah, also Eigenvektoren bestimmen und diese benutzen, um Ebene aufzuspannen?