Wie bestimmt man p und n anhand Erwartungswert?

Nummer zwei  - (Mathe, Mathematik, Abitur)

3 Antworten

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Vorweg. Es wäre schön, wenn du dir ein bisschen Mühe bei der Bedienung der Technik machen würdest, und uns ein anständig lesbares Foto schickst (d. h. richtig justiert, und ohne geschnittenen Text).

SCHRITT 1. Man kann dem Bild mit guter Gewissheit entnehmen: ℙ[X > 8] = 0 und ℙ[X = k] ≠ 0 für 0≤k≤7. Da X ~ Bin(n, p), folgt aus dieser empirischen Erkenntnis

n = 8.                      …(1)

SCHRITT 2. Man weiß auch analytisch, dass 𝔼[X] = np. Darum

p = 𝔼[X]/n.                 …(2)

SCHRITT 3. Es bleibt nun, 𝔼[X] zu bestimmen. Es gilt 𝔼[X] = ∑ k·ℙ[X = k] für 0≤k≤7. Anhand des Graphen schätze man ein:

            |     ℙ[X = k]
k | untere / obere Schranke
=====================================
0 | 0,0000 0,0250
1 | 0,0250 0,0500
2 | 0,1000 0,1250
3 | 0,2000 0,2250
4 | 0,2500 0,3000
5 | 0,2000 0,2250
6 | 0,1000 0,1250
7 | 0,0250 0,0500
0 | 0,0000 0,0250
=====================================
∑k·ℙ[X = k] | 3,6000 4,6000
=====================================

Also

3,6 ≤ 𝔼[X] ≤ 4,6.           …(3)

SCHRITT 4. Gegeben ist die zusätzliche Erkenntnis: 𝔼[X] ∈ ℤ. Daraus folgt:

𝔼[X] = 4.                   …(4)

SCHRITT 5. Aus (1), (2) und (4) folgt:

p = 4/8 = 0,5 (exakt)       …(5)

SCHRITT 6. Feedback / Bestätigung. Mit p=0,5 (exakt) muss gelten: n ungerade ⟹ Verteilung habe zwei absolute Maxima (bei (n–1)/2 und (n+1)/2); und n gerade ⟹ Verteilung habe ein eindeutiges absolutes Maximum (bei n/4). Dem Graphen entnimmt man, die Verteilung hat ein eindeutiges Maximum bei k=4. Darum muss unter der Annahme, p=1/2, n gerade sein mit n = 2k = 8. Passt perfekt.

Aufgabe - (Mathe, Mathematik, Abitur)

Tippfehler:

… ℙ[X = k] ≠ 0 für 0≤k≤

… 𝔼[X] = ∑ k·ℙ[X = k] Summe über 0≤k≤8

müsste es heißen.

0

Ach ja, SCHRITT 6 soll ich ergänzen:

Zur Kontrolle fixiere man n=8 und überprüfe, ob der Wert von p passt. Unter der Bedingung 𝔼[X] ∈ ℤ und den Tatsachen, dass 𝔼[X]=np und ∈ [0, 1], so muss np ∈ [0, 8] ∩ ℤ = {0; 1; …; 8}. Darum muss p = n/ n = np / 8 ∈ {0/8; 1/8; 2/8; …; 7/8; 8/8} gelten. Laut des Graphen gilt Maxᵏ ℙ[X=k] = ℙ[X=4] < 0,3000. Für p ∈ {0/8; 1/8; 2/8; …; 7/8; 8/8} \ {4/8} kann man numerisch überprüfen, dass das Maximum der binomischen Verteilung Bin(n; p) auf ℙ[X=k] erreicht wird für k ≠ 4. Darum kann p keinen Wert aus dieser Menge annehmen. Es bleibt nur übrig, dass p = 4/8 = 1/2.

Somit hat die Lösung (n; p) = (8; 1/2) eine gewisse lokale Stabilität. Global sind die Bestandteile der Lösung einzeln empirisch+analytisch gestützt.

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Du kennst doch die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene k-Werte {k_1, k_2, ..., k_N}.

Der Erwartungswert (für diskrete Verteilungen) ist definiert als

E(X) = Summe über (k ∈ {k_1, k_2, ..., k_N}) von (P(X=k) * k)

Hier also ca.

0,03 * 0+ 0,11 * 1 + ... + 0,03 * 7

Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, den so gewonnenen Wert noch auf eine ganze Zahl runden.

Damit sollten sich dann die Parameter n und p der Binomialverteilung angeben lassen.

Anzahl der Probanden (n=100) mal Wahrscheinlichkeit (0,02) ergibt 2. Bei 100 Personen sollten erwartungsgemäß 2 Personen Extremsportler sein, wenn 2% der Bevölkerung Extremsportler sind.

Ohje danke aber es ist die nummer 2 nicht die 3 <.<

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Entschuldige! Hier einfach jeden k-Wert mit deiner zugehörigen Wahrscheinlichkeit multiplizieren und die Ergebnisse addieren. :-)

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@Othiz

also jetzt 2*0,1100 + 3*0,2200 ..etc und das Ergebniss sagt mir dann was? 

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Genau, 0*... und 1*... natürlich nicht vergessen. Das Ergebnis sagt dir, was du im Schnitt erwarten solltest. Gehen wir mal davon aus, da würden deine bisherigen Noten stehen. Dann wüsstest du, für die nächste Arbeit ERWARTEST du dann das, was beim entsprechenden Erwartungswert rauskommt. Das tatsächliche Ergebnis weicht dann wahrscheinlich ab. Je durchschnittlicher es aber ist, umso näher ist es am Erwartungswert. Das ist so natürlich alles umgangssprachlich ausgedrückt, ich hoffe aber, du verstehst es so besser :-)

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