Dreiecksberechnung mehreren Dreiecken

...komplette Frage anzeigen Die Aufgabe - (Mathe, Mathematik)

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Das Verhältnis (1:5) bedeutet dass ein Teil 5 mal so lang ist wie der andere. Man erreicht dies, indem man die Seite in 6 gleichgroße Teile teilt.

Mit ein bisschen Überlegen kommt man auf eine sehr elegante Lösung der Aufgabe:

Eine Seite wird in 6 Teile zerlegt (um das Verhältnis 1:5 zu erhalten), eine in 3 und eine in 2. Da das kleinste gemeinsame Vielfache der Teile 6 ist, zerteilt man alle Seiten in 6 Teile und verbindet alle Punkte. Jetzt ist das Dreieck in 36 kleine ebenfalls gleichseitige Dreiecke zerlegt. Jedes ist 1 cm² gross. Da bei einem Dreiecksstumpf eines gleichseitigen Dreiecks die Diagonale die Fläche halbiert kann man jetzt die Lösung einach abzählen, indem man sich passende Dreiecksstümpfe sucht, die kleinen Dreiecke zählt und ihre Zahl durch 2 teilt. Die Fläche des gesuchten Dreiecks erhält man dann indem man die Summe der ausgeschnittenen Stücke von der Gesamtsumme abzieht.

1) Zeichne die Höhe h, von E auf c und h₂ von C auf c.

Nach dem Strahlensatz mit Scheitel B ist h, : h₂ = BE : BC = ½ also h, = ½h₂

und DB = ⅚AB. Die Fläche von ∆BDE ist F‘ = ½DB • h, = ½ • ⅚AB • ½h₂ =

(5/12) • ½AB • h₂. Es ist ½AB • h₂ die Fläche des ganzen Dreiecks,

damit kannst Du F‘ berechnen.

2) Zeichne die Höhe h₃ von E auf b und h₄ von B auf b.

Nach dem Strahlensatz mit Scheitel C ist h₃ = ½h₄ und FC = ⅔b

Fläche von ∆FCE ist F₂ = ½ • FC • h₃ = ½ • ⅔b • ½h₄ = ⅓ • ½bh₄ = ⅓ • 36 

3) Höhe h₅ von B auf D und h₄ von B auf b. Es ist h₅ : h₄ = AD : AB und Fläche

von ∆AFD ist F₃ = ½ • AF • h₅ = ½ • ⅓b • ⅙h₄ = (1\18) • ½bh₄ = (1\18) • 36.

36 - (F, + F₂ + F₃)  ergibt die Fläche von ∆FED.

D Teilt die Seite c im Verhältnis 1:5 heist, das der Teil von D auf der einen Seite von c 5 mal so lang ist wie der auf der anderen. 

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