Dreiecksberechnug der allgemein existierenden SSW-Satz

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... siehe Ellejolka. Mit ein wenig Zeichnung verstehst du auch, warum. Seiten, Winkel und Punkte im Dreieck ABC sollen nach Standard bezeichnet sein.

A. Nicht allgemein eindeutige Konstruktion

Eine längere Seite a = BC und eine kürzere Seite b = CA seien vorgegeben. Du kannst a einfach hinzeichnen und hast sofort die Punkte B und C, aber du weißt nicht, wo A liegt. Also zeichnest du einen Kreis k um Punkt C mit Radius b; irgendwo auf k muss der Punkt A ja liegen. B liegt immer außerhalb von k, weil a länger ist als b.

Nun hast du noch den Winkel β als Gegenwinkel der kürzeren Seite gegeben und zeichnest ihn ein; sein Scheitelpunkt ist B. Jetzt gibt es drei Möglichkeiten:

(1) β ist so groß, dass sein freier Schenkel k nicht schneidet. Dann gibt es kein Dreieck mit diesen Bestimmungsstücken.

(2) β ist so groß, dass sein freier Schenkel k in genau einem Punkt A berührt. Dann ist der Winkel α ist ein rechter (weil der freie Schenkel von β auf der Tangente an k mit Berührpunkt A liegt, und b ein Berührradius ist).

(3) β ist so groß, dass sein freier Schenkel k in den Punkte A und A' schneidet. Weil B außerhalb von k liegt, hat sowohl das Dreieck ABC als auch das Dreieck A'BC den Winkel β.

Wegen (3) ist das Dreieck zu konstruierende Dreieck nicht eindeutig bestimmt,. die Konstruktion hat zwei nicht kongruente Lösungen. Zwei Dreiecke, die in zwei Seiten und dem GEGENwinkel der KÜRZEREN übereinstimmen, müssen nicht kongruent sein. Also kann sich ein Dreieck aus diesen Stücken auch nicht im Allgemeinen eindeutig berechnen lassen.


B. Allgemein eindeutige Konstruktion

Eine kürzere Seite a = BC und eine längere Seite b = CA seien vorgegeben. Auch diesmal kannst du a einfach hinzeichnen, kennst aber die Lage von Punkt A nicht. Also zeichnest du wieder einen Kreis k um Punkt C mit Radius b, auf dem Punkt A liegen muss. B liegt immer innerhalb von k, weil a kürzer ist als b.

Nun hast wieder Winkel β gegeben, aber diesmal als Gegenwinkel der längeren Seite und zeichnest ihn ein; sein Scheitelpunkt ist wieder B. Diesmal liegt aber der Punkt B innerhalb von k, so dass der freie Schenkel von β den Kreis k nur genau einmal schneidet, und zwar im noch gesuchten Punkt A.

k schneidet zwar die Gerade, die den freien Schenkel von β enthält, noch in einem weiter Punkt A', aber das Dreieck A'BC hat am Punkt nicht Winkel β (sondern 180° -β). Nun könnte noch sein, dass β = 90° ist, und also β = 180° - β. Dann gibt es zwar tatsächlich zwei Lösungen, aber die sind kongruent, weil das Dreieck A'BC aus ABC durch Spiegelung an a hervorgeht.

Diesmal ist das Dreieck immer eindeutig bestimmt. Zwei Dreiecke, die in zwei Seiten und dem GEGENwinkel der LÄNGEREN übereinstimmen, sind stets kongruent. Daher heißt der entsprechende Kongruenzsatz nicht einfach "ssw" sondern "Ssw", denn es kommt darauf an, dass die längere Seite den gegeben Winkel zum Gegenwinkel hat. Ein Dreieck aus diesen Stücken lässt sich im Allgemeinen eindeutig berechnen.

SsW ist ein Kongruenzsatz = 2 Seiten und der Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt,

sind gegeben.

sSW ist kein Kongruenzsatz (also nicht eindeutig zu konstruieren) gegebener winkel liegt gegenüber der kleineren Seite.

Vielen Dank :)

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Ich glaub das heist eifach nur seiteSeitewinkel und das S ist gros geschrieben weil die Seite neben dem winkel sein muss

okay danke :)

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Nein. Überlege doch: In einem Dreieck liegt eine von zwei gegebenen Seiten sowieso immer neben einem gegebenen Winkel, ganz egal, welcher es ist. Dazu bräuchte niemand eine besondere Aussage.

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