Divergenz der Harmonischen Reihe

5 Antworten

Um etwas mehr in die Mathematik reinzugehen. Wenn du dich mit Integralrechnung auskennst, kannst du die harmonische Reihe nach unten abschätzen. Wenn du 1 + 1/2 + 1/3 + ... als 1 * 1 + 1 * 1/2 + 1 * 1/3 + ... interpretierst, hast du Rechtecke mit Breite 1 und Höhe der Brüche. Das kannst du als Obersumme für ein Integral interpretieren, damit kannst du die harmonische Reihe bis 1/n durch das Integral von 1 bis n von 1/x nach unten abgrenzen, damit lässt sich zeigen, dass die harmonische Reihe bis 1/n größer sein muss als ln(n) (Logarithmus mit Basis e), sie unterscheiden sich sogar nur durch eine relativ kleine Konstante, die Euler-Mascheroni-Konstante, die sogar kleiner als 1 ist. Wenn wir den Grenzwert von ln(n) bis unendlich angucken, sehen wir, dass ln(n) nach unendlich strebt (dieser Beweis ist ein Einzeiler, das kannst du selber machen), da die harmonische Reihe aber größer sein muss als ln(n), strebt sie zwangsläufig auch gegen unendlich.

Wenn wir das ganze mit der geometrischen Reihe 1/2 + 1/4 + 1/8... machen, können wir sie als Untersumme für ein Integral interpretieren, sie also nach oben abschätzen. Dann findet man heraus, dass diese Reihe bis 1/2^n kleiner sein muss als das Integral von 0 bis n-1 von 2^(-n), das ist (1/2^n)(2^n-2)/ln(2). Wir wissen also, dass die Summe bis 1/2^n kleiner sein muss als dieser Term oben. Wenn wir wieder den Grenzwert von n gegen unendlich betrachten, dann sehen wir, dass die Summe kleiner sein muss als 1/ln(2) = 1,4427 also ein endlicher Wert.

Dieses Verfahren nennt sich der Integraltest und der wird sehr häufig verwendet, um Konvergenzen oder Divergenzen zu beweisen, indem man ihre Summe nach unten oder nach oben abschätzt und davon Grenzwerte bestimmt.

Das mal als ausführliche Antwort, es ist natürlich schwer, das erstmal so hinzunehmen, da die Unendlichkeit ein Thema ist, mit dem sich Mathematiker seit Jahrtausenden beschäftigen, aber das ist der allgemeine Wissensstand. Es ist natürlich hinnehmbar, einfach zu sagen, dass unendliche Summen divergieren müssen, da man unendlich viele Werte addiert, die alle ungleich 0 sind, diese Annahme hilft uns aber nicht sehr viel weiter, deshalb rechnen wir so wie wir es eben tun.

LG

Ich glaube den Fehler gefunden zu haben. Du übersiehst bei der geometrischen Reihe, dass das i im exponenten steht. also 1 durch Potenzen von zwei. 1+1/2+1/4+1/8 usw. die harmonische Reihe ist 1+ 1/2+1/3 usw. in der geometrischen Reihe steht nicht nur eine 1 mehr.

Nun ja, dann ist die geometrische Reihe eben "schneller". Die Schnelligkeit spielt doch aber bei Unendlichkeit eigentlich keine Rolle, oder?

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Man kann so argumentieren, man darf die Klammern beliebig setzen, solange man keine Umordnung durchführt. Bei der geometrischen Reihe (die erste) wirst du garantiert keine Klammern so setzen können, das sie divergiert.

Warum nicht?

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@DrPeterPepper

(Außerdem geht es mir eigentlich nicht um die Klammern, aber ich spiel mal mit)

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Wenn du ein Glas erst halb voll machst, dann nochmal ein Viertel reinschüttest, dann nochmal die hälfte davon und nochmal die hälfte und so weiter, dann wird das Glas nie ganz voll. ich hoffe das leuchtet ein. Aber überleg dir mal bei der harmonischen Reihe: ein Drittel ist vielleicht viel weniger als ein Halb, aber irgendwann addierst du ...+1/180 +1/81 +... die Werte nähern sich immer mehr an.

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@thisisntapizza

Wenn ich doch bis ins Unendliche dazuschütten kann...?

Wenn ich ein Glas Wasser hab und noch ein halbes und dazu noch ein Drittel dazuschütte und danach ein Viertel...Werde ich denn dann nie 2 Gläser nach dieser Logik erreichen? Der Füllstand müsste doch einen Wert anstreben?

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@DrPeterPepper

(Also vll jetzt nicht 2 Gläser aber irgendwann wird es doch nichtmehr 'Nennenswert' wie bei der geometrischen Reihe.

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@DrPeterPepper

Doch genau das ist es. Du kannst mir JEDE Anzahl an Gläsern nennen, ich kann dir immer sagen, wie weit du in dieser Reihe gehen musst, um so viele Gläser zu füllen. Seien es 100, 100000, 1894811968 usw, das ganze wird beliebig groß und strebt gegen unendlich. Bei der Reihe von 1/2 + 1/4 usw.. wirst du zum Beispiel keinen Zeitpunkt finden können, an dem du 1,1 Gläser gefüllt haben wirst. Ich hoffe das hat dir ein bisschen weitergeholfen.

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@DrPeterPepper

Doch! du wirst sogar "unendlich viele Gläser" brauchen, aber es dauert sehr sehr lange...

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@Roach5

Warum nicht? Wieso, wenn es doch ein unendlicher Prozess ist, kann man sagen, dass er "beendet" ist, sobald man 1 Glas gefüllt hat?

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@DrPeterPepper

Ich verstehe das Konzept schon, dass eben die geometrische Reihe sehr viel schneller kleiner wird als die harmonische. Aber das sollte doch in Anbetracht der Unendlichkeit eigentlich keine Rolle spielen.

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man fasst ja immer mehrere folgenglieder zusammen, und stellt fest dass ihre Summe größer als 1/2 ist. Und gerade weil die Reihe ins unendliche geht, heißt das, du addierst unendlich mal 1/2.

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solange man keine Umordnung durchführt

Aber natürlich darfst Du umordnen, da gibts sogar vom Meister persönlich einen Satz dafür:

http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher_Umordnungssatz

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@Roderic

Da hat jemand den Satz nicht gelesen und sich selbst widerlegt.

"[...]dann existiert zu jeder beliebig vorgegebenen reellen Zahl S eine Umordnung, [...] so dass die umgeordnete Reihe [...] gegen S konvergiert."

Du kannst jede Reihe so umformen, dass sie jeden beliebigen Wert annimmt. Genau deshalb darf man das eben nicht so einfach!

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@Roach5

Du hast mich jetzt echt zum Grübeln gebracht:

Der Riemansche Umordnungssatz ist auf die zweite (die geometrische) Reihe gar nicht anwendbar, da diese nicht konvergent ist - also auch nicht bedingt konvergent.

An der Geschichte mit der Umordnung grübel ich noch. Ich will ja schließlich Divergenz nachweisen nicht Konvergenz.

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