differenzialrechnung die zweite ableitung

... komplette Frage anzeigen

5 Antworten

Steigung der Steigung ist soo zu verstehen:

Du weißt ja, dass man die 1. Ableitung als Kurve zeichnen kann.

Natürlich hat auch diese wieder eine Steigung, die man als Kurve zeichnen kann, gewissermaßen als Steigung der Steigung. Die 2. Ableitung ist ja die 1. Ableitung der 1. Ableitung, so verwirrend sich das im ersten Augenblicj auch anhört.

Nebenbei solltest du dir merken, dass mit Steigung die Steigung in jedem einzelnen Punkt, sprich also: die der Tangente in jedem einzelnen Punkt gemeint ist.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

im internet habe ich gelesen die zweite ableitung ist die steigung der steigung, aber irgendwie verstehe ich das nicht

Die erste Ableitung einer Funktion beschreibt die "Steigung dieser Funktion".

Die erste Ableitung ist aber selber eine Funktion. Sie hat daher ganz ebenso in jedem Punkt eine Steigung und kann abgeleitet werden.

Wie gesagt: Die erste Ableitung einer Funktion beschreibt die "Steigung dieser Funktion".
Nimm als Funktion die erste Ableitung (einer anderen Funktion), dann wird aus dem Satz:
Die erste Ableitung der ersten Ableitung einer Funktion beschreibt die "Steigung der ersten Ableitung dieser Funktion".
Die "erste Ableitung der ersten Ableitung" ist natürlich die zweite Ableitung, also:
Die zweite Ableitung einer Funktion beschreibt die "Steigung der ersten Ableitung dieser Funktion".
Die erste Ableitung ist die "Steigung einer Funktion, demnach:
Die zweite Ableitung einer Funktion beschreibt die "Steigung der Steigung dieser Funktion".

Voilà, dein Satz aus dem Internet. Daran ist nicht geheimnisvoll. Im Gegenteil, das ist so simpel, dass man durch schlichtes Textbausteine-Ersetzen schon drauf kommt, wie ich gerade vogeführt habe.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Barney123
03.07.2013, 11:01

Was aber nichts beantweortet, denn das steht schon in der Frage

0

A. Fahre mit einem gedachten Fahrzeug in x-Richtung auf deiner Funktion f entlang.

  • Genau dann, wenn f''(x) > 0 ist, fährst du eine Linkskurve, und sie ist umso enger, je größer f''(x) an der jeweiligen Stelle ist.

  • Genau dann, wenn f''(x) < 0 ist, fährst du eine Rechtskurve, und sie ist umso enger, je kleiner f''(x) an der jeweiligen Stelle ist.

Zum Leidwesen meines konservativen Mathelehrers ist die zweite Ableitung von linksherum immer positiv ( = Eselsbrücke).


B. Höchstens dann, wenn f''(x) = 0 ist, geht deine Fahrt von einer Links- in eine Rechtskurve über, oder umgekehrt. Eine solchen Stelle heißt Wendepunkt von f. - Warum nur "höchstens dann"?

Sei x0 eine Nullstelle von f''(x0). Betrachtet werden x aus einer Umgebung von von x0, also

x0 -h < x < x0 links von x0 und

x0 < x < x0 +h rechts von x0,

wobei h eine hinreichend kleine positive Zahl ist.

Wenn links und rechts von x0 gilt: f''(x) > 0, dann ist f links und rechts von x0 eine Linkskurve, und f hat in x0 keinen Wendepunkt.

Wenn links und rechts von x0 gilt: f''(x) < 0, dann ist f links und rechts von x0 eine Rechtskurve, und f hat in x0 keinen Wendepunkt.

Wenn links von x0 gilt: f''(x) > 0, und rechts von x0: f''(x) < 0, dann ist f links von x0 eine Linkskurve, aber rechts von x0 eine Rechtskurve, und f hat in x0 einen Wendepunkt.

Wenn rechts von x0 gilt: f''(x) > 0, und links von x0: f''(x) < 0, dann ist f links von x0 eine Rechtskurve, aber rechts von x0 eine Linkskurve, und f hat in x0 einen Wendepunkt.

Also lautet die Äquivalenzbedingung:

  • Genau dann, wenn f''(x) = 0 ist und f'' bei x das Vorzeichen wechselt, hat f in x einen Wendepunkt.

C. Mit etwas Routine in Kurvendiskussion machst du dir dann klar:

Sei x0 eine Nullstelle von f''(x).

(1) x0 ist

genau dann Wendepunkt von f, wenn x0 Extremum von f' ist, und

genau dann kein Wendepunkt von f, wenn x0 Terrassenpunkt von f' ist.

Für mindestens dreimal differenzierbare Funktionen gilt außerdem:

(2) x0 ist genau dann kein Wendpunkt, wenn f'' in x0 ein Extremum hat und dort die x-Achse (von oben oder von unten) berührt.

(3) x0 ist genau dann kein Wendepunkt, wenn f'' in x0 eine mehrfache Nullstelle hat.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

die zweite ableitung gibt die änderung der ersten ableitung (steigung) an, und entspricht daher der krümmung.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Kann man sich als Krümmung vorstellen.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von badenglish
02.07.2013, 21:38

also als beispiel ein berg

die funktion f(x) stellt einen berg dar

die erste ableitung beschreibt die steigung des berges und die zweite die krümmung des bergs?

0

Was möchtest Du wissen?