Differentialrechung, Differentiationsregeln. 2. Ableitung, Mathematk. siehe Beschreibung

...komplette Frage anzeigen Die 1. Aufgabe (mein Ergebnis) - (Mathe, Mathematik, Rechnen)

2 Antworten

Die zweite Ableitung ist falsch gebildet, es ergibt sich:

f''(x)=112/(4x-1)³

Ehrlich gesagt ist mir dabei auch absolut nicht klar, was du da gemacht, bzw. gedacht hast. Die erste Ableitung hast du schließlich noch völlig korrekt mit der Quotientenregel abgeleitet. Aber schon die anschließende Zeile "f''(x)=(4x-1)(4x-1)" ist ziemlch seltsam und auf jeden Fall falsch. zuerst da steht ja bereits f'', obwohl du die zweite Ableitung ja erst bilden willst. Das ist aber evtl. bloß ein Schreibfehlre und oll eigenltich f' heißen. Aber auch dann wäre das höchst seltsam, weil ja die erste Ableitung umgeschrieben auch nie so aussieht. Denn zum einen fehlt plötzlich das "-14" (einfach weglassen geht ja nicht), zum anderen steht der Term (4x-1)² ja im Nenner (also "unten"), sodass man höchstens so umschreiben könnte:

f'(x)=-14/((4x-1)(4x-1))

allerdings bringt das hier nicht viel.

Für die richtige Rechnung gibt es hier zwei Möglichkeiten:

1.: Sofern bereits bekannt: Die Kettenregel (ist hier auch die schnellste Möglichkeit)

  1. Nochmals die Quotientenregel. Die Funktion des Nenners ist dann eben (4x-1)² um davon die Ableitung zu bilden am besten erst binomische Formel anwenden. Die Zählerfunktion ist dann einfafch -14, das lässt sich immerhin leicht ableiten.

Zur zweiten Frage:

Ah, hab sie mir gerade erst durchgelesen und verstehe erst jetzt, was dir in der ersten Aufgabe Probleme gemacht hat. Also dein Gedankengang ist ja der, dass die Ableitung einer konstanten Funktion f(x)=c Null ist. Aber: Das gilt ja nicht, wenn eine Variable mit x bzw. mit einem Ausdruck von x multipliziert wird. Also wenn das Ganze heißt: f(x)=c* u(x), wobei u(x) "irgendwas" mit x ist (Bsp: f(x)=c* x²--> u(x)=x²). Denn dann lautet die Ableitung einfach f'(x)=c* u'(x), das c bleibt also "einfach stehen". Ganz einfaches Besipiel: Du hast in deinem Bild bereits völlig richtig folgende Funktion abgeleitet:

f(x)=2x --> f'(x)=2

Und dir ist sicherlich klar, dass das eben immer so gemacht wird, egal ob da jetzt eine 2 oder eine 5 oder sonst eine Zahl steht. Und mit einer Variablen geht das denn genauso, denn das ist ja nur ein "Platzhalter" für so eine Zahl:

f(x)=c* x --> f'(x)=c oder: f(x)=a* x²--> f'(x)=a* 2 x=2ax

Wie ihr genau diese Regel genannt habt weiß ich nicht, evtl Faktorregel oder so. Desahlb: u kannst bei deinem zweiten Beispiel nicht einfach a und b weglassen. Dann ist die Funktion eine andere. es muss hier also heißen:

f(x)=abx² + 16x²=(16+ab)x²
f'(x)=2* (16+ab)* x

Eine Konstante kann nur "weggelassen" werden, wenn sie "alleine" addiert oder subtrahiert wird. Aber dann wird sie an sich auch nicht weggelassen, sondern eben bei der Ableitung Null. Bsp: f(x)=ax²+b --> f'(x)=2ax+0=2ax

Der Vollständigkeit halber noch der Beweis für die Faktorregel mit Hilfe des Differenzenquozienten. Es soll also die Ableitung der Funktion f(x)=c* u(x) berechnet werden. Im folgenden steht "lim" immer für "limes für h gegen Null". Dann berechnet sich die Ableitung mit dem Differenzenquotienten:

f'(x)=lim{(f(x+h)-f(x))/h}=lim{(c* u(x+h)-c* u(x))/h}=lim{c* (u(x+h)-u(x))/h}=c* lim{(u(x+h)-u(x))/h}

Der letzte Ausdruck ist dabei einfach die Definition für die Ableitung der Funktion u(x):
u'(x)=lim{(u(x+h)-u(x))/h}
Also: f'(x)=c* u'(x)

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Kommentar von Preiselbeerblum
09.10.2011, 21:18

Vielen, vielen Dank für die Mühe, dass hat mir sehr geholfen und meinen Tag gerettet. Ich weiß, wo mein Fehler in der 1. Aufgabe war: Ich hatte nicht daran gedacht, dass (4x-1)³ eine binomische Formel ist ;) Da hätte ich mich morgen im Unterricht aber völlig blamiert (11. Klasse ;)) Deshalb hab ich da sowas komisches draus gemacht. mein ganzer Gedankengang war bei der 2. Ableitung irgendwie falsch, Die Kettenregel hatte ich noch nicht in der Schule, ich hab es jetzt nochmal mit der Quotientenregel & binomischer Formel versucht, da ist aber was utopisches rausgekommen. Morgen wird es sich auflösen, im Matheunterricht, mal sehen, was die Lösung ist... Ich musste die Hausaufgabe nämlich für die ganze Klasse auf Folie für den Polylux schreiben... 2. Frage (Aufgabe) hab ich verstanden, ich weiß jetzt, dass ich es in dem fall nicht einfach weglassen kann,

DANKE !

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f ' =-14(4x-1)^-2 umgeschrieben also f ' ' = -2 * -14 * 4 /(4x-1)³

und ab kannst nicht weglassen

f ' = 2abx + 16 und dann 2 für x einsetzen

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