Differentialgleichungen. Ich verstehe nicht mal die Frage. Kann mir hier jemand helfen?

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3 Antworten

Hallo,

zeichne den Kreis so in ein Koordinatensystem ein, daß sein Mittelpunkt der Punkt (0|0) ist. Nun gilt es, ein Rechteck zu finden, dessen Produkt aus der Höhe zum Quadrat und der Breite möglichst groß wird. Statt mit a und b arbeite ich mit x und y. Dann muß x*y² möglichst groß werden.

Der obere rechte Eckpunkt des Rechtecks liegt auf dem Kreisumfang. Von diesem gilt, wenn wir seinen Radius auf den Wert 1 festlegen, daß jeder Punkt auf diesem Kreisumfang die Gleichung x²+y²=1 erfüllt.

Dann ist y²=1-x². Diesen Term können wir in die Zielfunktion f(x,y)=x*y² einsetzen und erhalten so die Funktion f(x)=x*(1-x²)=x-x³.

Um hier das Maximum zu finden, bilden wir die erste Ableitung
f'(x)=1-3x²

Bedingung für ein Maximum ist, daß f'(x)=0 wird, also:

1-3x²=0 oder 3x²=1

Dann ist x²=1/3 und x die Wurzel aus (1/3).

Da y²=1-x² ist, ist y²=2/3, nämlich 1-1/3, und y ist die Wurzel aus 2/3.

Um zu prüfen, ob hier wirklich ein Maximum vorliegt, bilden wir die zweite Ableitung f''(x)=-6x und setzen für x die Wurzel aus 1/3 ein. Da diese Wurzel positiv ist, ist f''(√(1/3) negativ, da mit -6 multipliziert wird, woraus folgt, daß hier tatsächlich ein Maximum vorliegt.

x und y, Breite und Höhe des ausgeschnittenen Balkens verhalten sich also wie √(1/3):√(2/3)=1/√2

Herzliche Grüße,

Willy

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Das ist eine Extremwertaufgabe, bei der du von einer Funktion ein Maximum finden musst. Dazu musst du sie differenzieren (ableiten).

Differentialgleichungen sind etwas gänzlich anderes.

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gesuchte Funktion: T = a² * b

gegeben d , Pythagoras d² = a² + b²

T = b * (d² - b²)

Maximalwerte: T' = dT/db = 0 >>> b berechnen

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Kommentar von Geograph
16.12.2015, 12:29

Korrektur:
Maximalwerte: T' = dT/db = 0 >>> b(d) berechnen (3b² = d²)

mit a² = d² - b² = 2b² >> a/b = Wurzel(2)

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