Differentialgleichung zum logistischen Wachstum?

1 Antwort

die 1. Ableitung ist schon nicht richtig erstellt:
ich schreibe mal für p1=a und für p0=b, ist dann etwas weniger unübersichtlich!

p(t)=a/(1+e^(-λt)*a/(b-1))=a/(1+a/(b-1) * e^(-λt))

p'(t)=-a* a/(b-1) * e^(-λt) *(-λ) // (1+a/(b-1) * e^(-λt)²
     =-a²λ/(b-1) * e^(-λt) // (1+a/(b-1) * e^(-λt)²

(der // soll den Hauptnenner darstellen)

hieran sieht man, dass die Funktion keinen Extrempunkt hat, da im Vorfaktor bzw. im Zähler nur Faktoren vorkommen, die immer ungleich Null sind.

so, zur 2. Ableitung...

p''(t)=a²λ/(b-1) * (-λ*e^(-λt)*(1+e^(-λt)*a/(b-1)²-e^(-λt)*2(1+e^(-λt)*a/(b-1))*a/(b-1)
         *e^(-λt)*(-λ) // (1-e^(-λt)*a/(b-1))^4

=...=a²*λ²/(b-1) * e^(-λt) * (1+e^(-λt)*a/(b-1))*(e^(-λt)*a/(b-1)-1)
       // (1-e^(-λt)*a/(b-1))^4

habe die Zwischenschritte beim Zusammenfassen weggelassen...

aus diesem Hammerbruch kann nur der fettgedruckte Teil 0 werden, also:

e^(-λt)*a/(b-1)-1=0        |+1   *(b-1)/a
e^(-λt)=(b-1)/a              |ln
-λt=ln(b-1)-ln(a)            |:-λ
  t=(ln(a)-ln(b-1)/λ

t=(ln(p1)-ln(p0-1)/λ

gib die Funktion mal mit richtigen Werten in einen Plotter ein, und Du siehst, dass der Wendepunkt existiert, allerdings meiner Meinung nach auch, wenn p0 größer ist als die Hälfte von p1

und ja... ich hatte "ein wenig" Langeweile :)

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